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Abitur 2000 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I
Gegeben ist die Funktion f : x ↦ x 2 - 2 ( x + 2 ) 2  mit maximalem Definitionsbereich D f . Der Graph von f wird mit G f  bezeichnet.
Teilaufgabe 1a  (5 BE)

Bestimmen Sie D f  und die Schnittpunkte von G f mit den Koordinatenachsen.
Untersuchen Sie das Verhalten von f in der Umgebung der Definitionslücke.

Teilaufgabe 1b  (4 BE)

Zeigen Sie, dass der Graph G f  die Gerade y = 1 als horizontale Asymptote besitzt und dass er sich dieser für x → + ∞  von unten nähert.

Teilaufgabe 1c  (10 BE)

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts.
Untersuchen Sie G f  auf Wendepunkte.
             [zur Kontrolle: f ' ( x ) = 4 · x + 1 ( x + 2 ) 3 ]

Teilaufgabe 1d  (6 BE)

Zeichnen Sie die Asymptoten sowie G f   im Bereich - 2 < x ≤ 6  unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und der Funktionswerte an den Stellen 0,5 und 1 (Längeneinheit 2cm).

Der Graph G f  , die x-Achse sowie die Geraden x = -1 und x = 1 umschließen ein endliches Flächenstück vom Inhalt A.
Teilaufgabe 2a  (4 BE)

Schätzen Sie A mit Hilfe der Streifenmethode durch vier Rechtecke gleicher Breite nach oben ab (2 Dezimalen).

Teilaufgabe 2b  (7 BE)

Zeigen Sie, dass F : x ↦ x - 4 · ln ( x + 2 ) - 2 x + 2 für x > - 2  eine Stammfunktion von f ist. Bestimmen Sie den Flächeninhalt A durch Integration (2 Dezimalen).

Teilaufgabe 2c  (4 BE)

Besser als durch die Streifenmethode in Teilaufgabe 2a lässt sich im konkreten Fall der Flächeninhalt A durch den Flächeninhalt eines Trapezes abschätzen. Geben Sie die Eckpunkte eines geeigneten Trapezes an und berechnen Sie seinen Flächeninhalt.

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