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Abitur 2015 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

Gegeben sind die ganzrationalen Funktionen
f a : x a ( x 3 + 2 x 2 - 7 x + 4 ) mit D f a = , a und a > 0 .
Teilaufgabe 1.1  (6 BE)

Zerlegen Sie f a ( x ) in Linearfaktoren und geben Sie die Nullstellen der Funktion f a mit der jeweiligen Vielfachheit an.

Teilaufgabe 1.2  (5 BE)

Berechnen Sie den Wert von a so, dass die Tangente an den Graphen der Funktion f a an der Stelle x = - 3 die y-Achse bei y = 5 schneidet.

Nun wird a = 1 8 gesetzt. Die Funktion f 1 8 wird im Folgenden mit f bezeichnet.
Es gilt: f ( x ) = 1 8 ( x 3 + 2 x 2 - 7 x + 4 ) .
Teilaufgabe 2.1  (7 BE)

Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie Art und Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von f .

Teilaufgabe 2.2  (4 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P , in dem der Graph der Funktion f am stärksten fällt.

Teilaufgabe 2.3  (4 BE)

Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen von f im Bereich - 5 x 4 in ein kartesisches Koordinatensystem.

Gegeben ist ferner die quadratische Funktion p mit p ( x ) = 1 für alle x .
Teilaufgabe 3.1  (5 BE)

Bestimmen Sie den Funktionsterm p ( x ) , wenn der Punkt A ( - 4 | 8 ) auf der Parabel G p und ihr Scheitel bei x S = - 1 8 liegt.
[Mögliches Ergebnis: p ( x ) = 1 2 ( x 2 + 1 4 x + 1 ) ]

Teilaufgabe 3.2  (9 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen der Funktionen p und f (mit f aus 2.1) und zeichnen Sie die Parabel G p für - 4 x 4 in das vorhandene Koordinatensystem ein.

Teilaufgabe 3.3  (2 BE)

Geben Sie die Lösung der Ungleichung p ( x ) - f ( x ) > 0 an und erläutern Sie, was das Ergebnis für die Graphen G f und G p bedeutet.

Teilaufgabe 3.4  (5 BE)

Die Graphen G f und G p schließen im II. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein. Markieren Sie dieses Flächenstück und berechnen Sie die Maßzahl seines Inhalts.

Das Dreieck A B C in untenstehender Abbildung rotiert um die y-Achse, und dabei entsteht ein Kegel. Der Punkt A ist der Ursprung des Koordinatensystems und der Punkt B liegt im I. Quadranten auf der Parabel G q mit q ( x ) = - x 2 + 8 x und x .
Teilaufgabe 4.1  (3 BE)

Stellen Sie eine Gleichung V ( r ) für das Volumen des Kegels auf, wobei r = B C ¯ der Radius des Kegels ist.
[Mögliches Ergebnis: V ( r ) = - 1 3 π r 4 + 8 3 π r 3 ]

Teilaufgabe 4.2  (3 BE)

Ermitteln Sie die maximale sinnvolle Definitionsmenge D V der Funktion V : r V ( r ) .

Teilaufgabe 4.3  (7 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes B so, dass das Kegelvolumen seinen absolut größten Wert annimmt, und berechnen Sie das maximale Kegelvolumen.