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Abitur 2014 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II
Gegeben ist die reelle Funktion mit der Definitionsmenge .
Teilaufgabe 1.1 (8 BE)
Zeigen Sie, dass für einen Punkt mit waagrechter Tangente besitzt. Bestimmen Sie mithilfe der maximalen Monotonieintervalle Art und Koordinaten aller Punkte auf mit waagrechter Tangente.
Teilaufgabe 1.2 (4 BE)
Ermitteln Sie die Koordinaten aller Wendepunkte von auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Teilaufgabe 1.3 (5 BE)
Begründen Sie, dass im Intervall genau eine Nullstelle besitzt. Ermitteln Sie ein Intervall der Länge , das diese Nullstelle enthält.
Teilaufgabe 1.4 (6 BE)
Weisen Sie durch Rechnung nach, dass sich die Graphen der Funktionen und , mit und , für berühren. Berechnen Sie die Koordinaten der Berührpunkte.
Teilaufgabe 1.5 (6 BE)
Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen und im Bereich , auch unter Verwendung vorliegender Ergebnisse, in ein kartesisches Koordinatensystem.
Teilaufgabe 1.6 (4 BE)
Die Graphen und schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts.
Teilaufgabe 2 (4 BE)
Gegeben ist die allgemeine ganzrationale Funktion vierten Grades durch
mit , , , , , und .
Geben Sie ohne Begründung und ohne Rechnung einen Überblick, wie viele Nullstellen (Anzahl und Vielfachheit!) die Funktion haben kann.
mit , , , , , und .
Geben Sie ohne Begründung und ohne Rechnung einen Überblick, wie viele Nullstellen (Anzahl und Vielfachheit!) die Funktion haben kann.
Gegeben sind mit dem Parameter und die quadratischen Funktionen
Teilaufgabe 3.1 (3 BE)
Untersuchen Sie, für welchen Parameterwert der Graph von symmetrisch zum Koordinatensystem ist. Erläutern Sie Ihr Vorgehen.
Teilaufgabe 3.2 (4 BE)
Weisen Sie nach, dass die Diskriminante der Gleichung ist.
Teilaufgabe 3.3 (5 BE)
Bestimmen Sie nun diejenigen Werte , für die die quadratische Funktion mindestens eine Nullstelle besitzt.
Die Graphen der reellen Funktionen und mit und und mit bilden die untere abgebildete Fläche. Darin einbeschrieben ist das Rechteck , dessen Eckpunkte auf den Graphen der Funktionen und liegen.
Teilaufgabe 4.1 (4 BE)
Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche des Rechtecks in Abhängigkeit von und geben Sie eine sinnvolle maximale Definitionsmenge an.
[Mögliches Teilergebnis: ]
[Mögliches Teilergebnis: ]
Teilaufgabe 4.2 (7 BE)
Bestimmen Sie so, dass die zugehörige Fläche maximalen Inhalt annimmt. Berechnen Sie für diesen Fall die Maßzahlen für die Fläche, Breite und Länge des Rechtecks.
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