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Abitur 2012 Mathematik T Infinitesimalrechnung A I

Gegeben ist die reelle Funktion f : x ln - 2 x 2 x 2 - 4 in der maximalen Definitionsmenge D f .
Teilaufgabe 1.1  (6 BE)

Zeigen Sie, dass gilt: D f = ] - 2 ; 0 [ ] 0 ; 2 [

Teilaufgabe 1.2  (3 BE)

Untersuchen Sie den Graphen von f auf Symmetrie bezüglich des Koordinatensystems.

Teilaufgabe 1.3  (4 BE)

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f .

Teilaufgabe 1.4  (5 BE)

Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f ( x ) für x 0 , für x - 2 und für x 2 .

Teilaufgabe 1.5  (4 BE)

Geben Sie die Wertemenge der Funktion f sowie die Art und die Gleichungen der Asymptoten des Graphen von f an.

Teilaufgabe 1.6  (7 BE)

Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle des Graphen von f .

Teilaufgabe 1.7  (7 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von f .

Teilaufgabe 1.8  (4 BE)

Zeichnen Sie mithilfe Ihrer Ergebnisse den Graphen von f mit seinen Asymptoten in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab: 1 LE = 1 cm

Teilaufgabe 1.9  (9 BE)

Gegeben sei nun die Funktion F : x 2 ln ( 2 - x ) - 2 ln ( 2 + x ) + x ln - 2 x 2 x 2 - 4 mit der maximalen Definitionsmenge D F = D f . Zeigen Sie, dass die Funktion F eine Stammfunktion von f ist. Markieren Sie das von der x -Achse, der Geraden mit der Gleichung x = 0 , 5 und dem Graphen von f eingeschlossene, endliche Flächenstück im Schaubild der Aufgabe 1.8 und berechnen Sie seine Flächenmaßzahl A . Runden Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen.

Die Halbwertszeit T A eines radioaktiven Elements A , also die Zeit, nach der die Hälfte der zur Zeit t = 0 vorhandenen N A 0 = 1 , 75 10 16 Atome zerfallen ist, beträgt 134 s . Für die Anzahl N A ( t ) der zur Zeit t nicht zerfallenen Atome gilt das Zerfallsgesetz:

N A ( t ) = N A 0 e - ln 2 T A t
Teilaufgabe 2.1  (5 BE)

Berechnen Sie die sog. "mittlere Lebensdauer" τ , d.h. die Zeit τ , für die gilt:

N A ( τ ) = N A 0 e

Teilaufgabe 2.2  (3 BE)

Zeigen Sie ausgehend vom Zerfallsgesetz, dass folgende Beziehung gilt:

N · A ( t ) N A ( t ) = - ln 2 T A

N · A ( t ) bedeutet dabei die Ableitung von N A ( t ) nach der Zeit t .

Für ein Stoffgemisch zweier radioaktiver Elemente B und C mit den Halbwertszeiten T B bzw. T C gelten die folgenden Beziehungen:

  • N B C ( t ) = N B ( t ) + N C ( t )

  • Zur Zeit t = 0 ist die Anzahl N C 0 der vorhandenen Atome des Elements C doppelt so groß wie die Anzahl N B 0 der vorhandenen Atome des Elements B .

  • Die Halbwertszeit des Elements B ist nur halb so groß wie die des Elements C .

  • Beim Zerfall des Elements B entsteht nicht das Element C und beim Zerfall des Elements C entsteht auch nicht das Element B .

Zeigen Sie, dass für den Zeitpunkt t * mit N B C ( t * ) = 1 2 N B C ( 0 ) folgende Gleichung gilt:

e - ln 2 T C t * 2 + 2 e - ln 2 T C t * = 1 , 5

Berechnen Sie den Wert t * T C auf zwei Nachkommastellen genau.

[Hinweis: Benutzen Sie die Substitution u = e - ln 2 T C t * ]