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Abitur 2012 Mathematik T Infinitesimalrechnung A I
Gegeben ist die reelle Funktion in der maximalen Definitionsmenge .
Zeigen Sie, dass gilt:
Untersuchen Sie den Graphen von auf Symmetrie bezüglich des Koordinatensystems.
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion .
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte für , für und für .
Geben Sie die Wertemenge der Funktion sowie die Art und die Gleichungen der Asymptoten des Graphen von an.
Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle des Graphen von .
Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von .
Zeichnen Sie mithilfe Ihrer Ergebnisse den Graphen von mit seinen Asymptoten in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab:
Maßstab:
Gegeben sei nun die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge . Zeigen Sie, dass die Funktion eine Stammfunktion von ist. Markieren Sie das von der -Achse, der Geraden mit der Gleichung und dem Graphen von eingeschlossene, endliche Flächenstück im Schaubild der Aufgabe 1.8 und berechnen Sie seine Flächenmaßzahl . Runden Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen.
Die Halbwertszeit eines radioaktiven Elements , also die Zeit, nach der die Hälfte der zur Zeit vorhandenen Atome zerfallen ist, beträgt . Für die Anzahl der zur Zeit nicht zerfallenen Atome gilt das Zerfallsgesetz:
Berechnen Sie die sog. "mittlere Lebensdauer" , d.h. die Zeit , für die gilt:
Zeigen Sie ausgehend vom Zerfallsgesetz, dass folgende Beziehung gilt:
bedeutet dabei die Ableitung von nach der Zeit .
bedeutet dabei die Ableitung von nach der Zeit .
Für ein Stoffgemisch zweier radioaktiver Elemente und mit den Halbwertszeiten bzw. gelten die folgenden Beziehungen:
- Zur Zeit ist die Anzahl der vorhandenen Atome des Elements doppelt so groß wie die Anzahl der vorhandenen Atome des Elements .
- Die Halbwertszeit des Elements ist nur halb so groß wie die des Elements .
- Beim Zerfall des Elements entsteht nicht das Element und beim Zerfall des Elements entsteht auch nicht das Element .
Zeigen Sie, dass für den Zeitpunkt mit folgende Gleichung gilt:
Berechnen Sie den Wert auf zwei Nachkommastellen genau.
[Hinweis: Benutzen Sie die Substitution ]
[Hinweis: Benutzen Sie die Substitution ]
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