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Abitur 2012 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II
Gegeben ist die reelle Funktion mit .
Teilaufgabe 1.1 (3 BE)
Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen und deren Vielfachheit.
Teilaufgabe 1.2 (6 BE)
Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion und ermitteln Sie Art und Koordinaten des relativen Extrempunkts von .
Teilaufgabe 1.3 (4 BE)
Untersuchen Sie den Graphen auf Wendepunkte.
Teilaufgabe 1.4 (4 BE)
Zeichnen Sie den Graphen im Bereich unter Verwendung vorliegender Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem.
Teilaufgabe 1.5 (4 BE)
Zeigen Sie, dass die Gerade , beschrieben durch die Funktion mit , Tangente an im Punkt ist.
Zeichnen Sie die Tangente in das vorhandene Koordinatensystem ein.
Zeichnen Sie die Tangente in das vorhandene Koordinatensystem ein.
Teilaufgabe 1.6 (5 BE)
Die Tangente , der Graph und die -Achse schließen ein endliches Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in Ihrer Zeichnung und berechnen Sie die Maßzahl seines Inhalts.
Gegeben sind die reellen Funktionen
mit und .
mit und .
Teilaufgabe 2.1 (4 BE)
Untersuchen Sie in Abhängigkeit von das Symmetrieverhalten von bzgl. des Koordinatensystems.
Teilaufgabe 2.2 (7 BE)
Berechnen Sie, für welche Werte von die Funktion genau eine Nullstelle besitzt.
Teilaufgabe 2.3 (3 BE)
Zeigen Sie, dass der Graph unabhängig von bei die -Achse als Tangente besitzt.
Eine Garage liegt über dem Straßenniveau. Die Zufahrt soll so gestaltet werden, dass sie "glatt" (d.h. ohne Knick) an die Straße und die Garage anschließt (siehe Skizze). Alle Angaben sind in Meter. Bei den folgenden Rechnungen kann auf Einheiten verzichtet werden.
Teilaufgabe 3.1 (7 BE)
Der Querschnitt der Auffahrtsrampe wird durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades, eingeschränkt auf den Bereich , beschrieben.
Ermitteln Sie den Funktionsterm .
[Ergebnis: ]
Ermitteln Sie den Funktionsterm .
[Ergebnis: ]
Teilaufgabe 3.2 (5 BE)
Die Rampe soll eine Breite von bekommen. Berechnen Sie das Volumen des Materials, das hierfür aufgeschüttet werden muss.
Ein Nachbar behauptet, dass die Auffahrt gemäß Teilaufgabe 3.1 ungünstig, weil "zu steil", sei. Die unten skizzierte Variante sei besser.
Teilaufgabe 3.3.1 (6 BE)
Bestimmen Sie denjenigen Bereich der Auffahrt (-Werte), in dem die Behauptung des Nachbarn richtig ist, d.h. die Rampe aus Teilaufgabe 3.1 steiler ist als beim Vorschlag des Nachbarn. Runden Sie dabei auf eine Nachkommastelle.
Teilaufgabe 3.3.2 (2 BE)
Zeigen Sie, dass beim Vorschlag des Nachbarn genauso viel Material aufgeschüttet werden müsste wie bei der ursprünglichen Idee (Teilaufg. 3.2).
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