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Abitur 2012 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I
sei eine ganzrationale Funktion mit der Ableitungsfunktion und .
Teilaufgabe 1.1 (4 BE)
Geben Sie die Nullstellen der Funktion an, skizzieren Sie den Graphen von und ermitteln Sie die max. Monotonieintervalle der Funktion .
Teilaufgabe 1.2 (4 BE)
Bestimmen Sie die maximalen Krümmungsintervalle des Graphen .
Teilaufgabe 1.3 (4 BE)
Der Graph enthält den Punkt . Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion .
[Mögliches Ergebnis: ]
[Mögliches Ergebnis: ]
Teilaufgabe 1.4 (6 BE)
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion mit Vielfachheit. Runden Sie gegebenenfalls auf zwei Nachkommastellen.
[Teilergebnis: ]
[Teilergebnis: ]
Teilaufgabe 1.5 (4 BE)
Ermitteln Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte sowie die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen .
Teilaufgabe 1.6 (4 BE)
Zeichnen Sie den Graphen im Bereich unter Verwendung vorliegender Ergebnisse in ein kartesisches Koordinatensystem.
Teilaufgabe 1.7 (5 BE)
Der Graph und die -Achse begrenzen im vierten Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück. Berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
Gegeben sind die Funktionen mit und .
Teilaufgabe 2.1 (3 BE)
Geben Sie in Abhängigkeit von Lage und Vielfachheit der Nullstellen der Funktion an.
Teilaufgabe 2.2 (8 BE)
Berechnen Sie in Abhängigkeit von diejenigen Stellen, an denen die Graphen der Funktionen (aus 1.3) und gleiche Steigung besitzen.
Teilaufgabe 2.3 (2 BE)
Erläutern Sie für den Zusammenhang der Graphen von und .
Das Brett eines Bücherregals liegt auf drei Stützen, die jeweils einen Abstand von haben und sich auf gleicher Höhe befinden. Belastet man das Brett gleichmäßig mit Büchern, so biegt es sich durch (vgl. Skizze).
Die Unterkante des Brettes kann im Bereich als Graph der Funktion
aufgefasst werden, wobei vom Brett und der Belastung abhängt. und werden in Meter gemessen.
Runden Sie bei den folgenden Berechnungen der Aufgabengruppe 3 die Ergebnisse auf 4 Stellen nach dem Komma. Auf die Mitführung von Einheiten wird verzichtet.
Die Unterkante des Brettes kann im Bereich als Graph der Funktion
aufgefasst werden, wobei vom Brett und der Belastung abhängt. und werden in Meter gemessen.
Runden Sie bei den folgenden Berechnungen der Aufgabengruppe 3 die Ergebnisse auf 4 Stellen nach dem Komma. Auf die Mitführung von Einheiten wird verzichtet.
Teilaufgabe 3.1 (6 BE)
Ermitteln Sie die Stelle , für die die größte Durchbiegung des Brettes im Bereich vorliegt.
[Ergebnis: ]
[Ergebnis: ]
Teilaufgabe 3.2 (3 BE)
Berechnen Sie den Wert für so, dass die größte Durchbiegung zwei Millimeter beträgt.
Nun wird das Brett aus Aufgabe 3 im Bereich betrachtet. Die Unterkante des Regalbretts wird jetzt durch den Graphen einer abschnittsweise definierten Funktion beschrieben mit
Wenn das Brett gleichmäßig belastet ist, ist der Graph der Funktion symmetrisch zur -Achse und ferner ist an der Stelle stetig.
Wenn das Brett gleichmäßig belastet ist, ist der Graph der Funktion symmetrisch zur -Achse und ferner ist an der Stelle stetig.
Teilaufgabe 4.1 (3 BE)
Ermitteln Sie unter obigen Bedingungen . Ihre Vorgehensweise muss durch Rechnung erkennbar sein oder verbal begründet werden.
Teilaufgabe 4.2 (4 BE)
Bestimmen Sie und begründen Sie, ob die Funktion an der Stelle differenzierbar ist.
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