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Abitur 2011 Mathematik T Infinitesimalrechnung A I
Gegeben sind die reellen Funktionen mit in der maximalen Definitionsmenge . Der Graph einer solchen Funktion wird mit bezeichnet.
Teilaufgabe 1.1 (4 BE)
Geben Sie an und bestimmen Sie die Art der Definitionslücke.
Teilaufgabe 1.2 (6 BE)
Ermitteln Sie, für welche Parameterwerte die Funktion zwei verschiedene Nullstellen, genau eine Nullstelle bzw. keine Nullstelle hat, und geben Sie die entsprechenden Nullstellen jeweils an.
Teilaufgabe 1.3 (6 BE)
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte für und bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen .
Teilaufgabe 1.4 (8 BE)
Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion und ermitteln Sie damit Art und Lage der Extrempunkte des Graphen .
[Mögliches Teilergebnis: ]
[Mögliches Teilergebnis: ]
Teilaufgabe 1.5 (3 BE)
Zeigen Sie, dass unabhängig von der Tiefpunkt und der Hochpunkt des Graphen immer denselben Abstand voneinander haben.
Teilaufgabe 1.6 (5 BE)
Setzen Sie und zeichnen Sie den Graphen mit seinen Asymptoten für in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: .
Für erhält man nach entsprechender Umformung die Funktion in ihrer maximalen Definitionsmenge .
Der Graph begrenzt mit den drei Geraden mit den Gleichungen , und mit und ein Flächenstück .
Der Graph begrenzt mit den drei Geraden mit den Gleichungen , und mit und ein Flächenstück .
Teilaufgabe 1.7.1 (9 BE)
Kennzeichnen Sie für das Flächenstück im Schaubild der Aufgabe 1.6 und zeigen Sie, dass für die von abhängige Flächenmaßzahl des Flächenstücks gilt:
Teilaufgabe 1.7.2 (9 BE)
Bestimmen Sie den Parameterwert so, dass die Flächenmaßzahl ihren absolut kleinsten Wert annimmt.
Nach einem Modell des britischen Ökonomen Thomas Malthus kann die Zahl der Weltbevölkerung in Abhängigkeit von der Zeit (in Jahren) näherungsweise durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden. (Einheiten werden nicht mitgeführt.)
, wobei gilt: und sowie und .
Dabei gibt die Bevölkerungszahl zum Zeitpunkt am 1.1.1800 an und ist ein Maß für die Wachstumsrate der Bevölkerung.
Am 1.1.1950 betrug die Weltbevölkerung der Bevölkerung etwa Milliarden Menschen, und am 1.1.2050 werden etwa Milliarden Menschen weltweit erwartet.
, wobei gilt: und sowie und .
Dabei gibt die Bevölkerungszahl zum Zeitpunkt am 1.1.1800 an und ist ein Maß für die Wachstumsrate der Bevölkerung.
Am 1.1.1950 betrug die Weltbevölkerung der Bevölkerung etwa Milliarden Menschen, und am 1.1.2050 werden etwa Milliarden Menschen weltweit erwartet.
Teilaufgabe 2.1 (5 BE)
Zeigen Sie, dass für die Werte und gilt: und .
Teilaufgabe 2.2 (3 BE)
Stellen Sie die Entwicklung der Weltbevölkerung zwischen 1.1.1800 und 1.1.2050 mit einem geeigneten Maßstab grafisch dar.
Teilaufgabe 2.3 (5 BE)
Entnehmen Sie einer entsprechenden Markierung im Diagramm der Aufgabe 2.2 zu einem beliebigen Zeitpunkt das Zeitintervall , für das folgende Bedingung gilt:
Zeigen Sie durch Rechnung, dass das Zeitintervall unabhängig vom Zeitpunkt ist, und berechnen Sie auf eine Nachkommastelle gerundet.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass das Zeitintervall unabhängig vom Zeitpunkt ist, und berechnen Sie auf eine Nachkommastelle gerundet.
Teilaufgabe 2.4 (7 BE)
Die natürliche Tragfähigkeitsgrenze der Erde ist der Zeitpunkt , an dem die Maßzahl der zur Verfügung stehenden Nahrungsmittel
mit und ( in Jahren)
nicht mehr größer ist als die Zahl der Weltbevölkerung .
(Eine Nahrungsmitteleinheit entspricht zur Vereinfachung dabei einer Bevölkerungseinheit.)
Bestimmen Sie mithilfe des Newton-Verfahrens den Zeitpunkt . Benutzen Sie als Startwert , führen Sie nur einen Näherungsschritt durch, runden Sie das Ergebnis auf ganze Jahre und geben Sie auch das entsprechende Jahr unserer Zeitrechnung an.
mit und ( in Jahren)
nicht mehr größer ist als die Zahl der Weltbevölkerung .
(Eine Nahrungsmitteleinheit entspricht zur Vereinfachung dabei einer Bevölkerungseinheit.)
Bestimmen Sie mithilfe des Newton-Verfahrens den Zeitpunkt . Benutzen Sie als Startwert , führen Sie nur einen Näherungsschritt durch, runden Sie das Ergebnis auf ganze Jahre und geben Sie auch das entsprechende Jahr unserer Zeitrechnung an.
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