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Abitur 2011 Mathematik T Analytische Geometrie B II

In einem kartesischen Koordinatensystem des 3 sind die Punkte P ( 1 ; 0 ; 0 ) , Q ( 0 ; 1 ; 0 ) , R ( 0 ; 0 ; 1 ) und S k ( k ; k ; k ) mit k gegeben.
Teilaufgabe 1.1  (6 BE)

Berechnen Sie die Werte des Parameters k für die die gegebenen Punkte eine dreiseitige Pyramide aufspannen.

Teilaufgabe 1.2  (6 BE)

Bestimmen Sie, für welche Werte des Parameters k die Pyramide ein reguläres Tetraeder, also eine gleichseitige Pyramide ist.

Methan CH 4 ist eine Kohlenstoffwasserverbindung. Das Molekül hat die Form eines regulären Tetraeders, in dessen Ecken sich die H -Atome befinden. Das C -Atom liegt im Punkt C , gleich weit von allen H -Atomen entfernt. Der Punkt C teilt die Höhen des Tetraeders im Verhältnis 3 : 1 . Die Ecken des Tetraeders, also die Lage der H -Atome, seien die Punkte aus Aufgabe 1 mit k = 1 , also P ( 1 ; 0 ; 0 ) , Q ( 0 ; 1 ; 0 ) , R ( 0 ; 0 ; 1 ) und S 1 ( 1 ; 1 ; 1 ) .
Teilaufgabe 2.1  (3 BE)

Die Punkte P , Q und S 1 liegen in einer Ebene F . Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform.
[Mögliches Ergebnis: F : x 1 + x 2 - x 3 - 1 = 0 ]

Teilaufgabe 2.2  (3 BE)

Bestimmen Sie das Volumen des Tetraeders P Q S 1 R .

Teilaufgabe 2.3  (4 BE)

Der Punkt T ist der Fußpunkt des vom Punkt R auf die Ebene F gefällten Lotes. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes T .
[Ergebnis: T ( 2 3 ; 2 3 ; 1 3 ) ]

Teilaufgabe 2.4  (4 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten des C -Atoms.
[Ergebnis: C ( 1 2 ; 1 2 ; 1 2 ) ]

Teilaufgabe 2.5  (4 BE)

Bestimmen Sie den Winkel φ zwischen zwei C - H -Bindungen, also z.B. den Winkel P C S 1 .