Gegeben ist die Funktion mit maximaler Definitionsmenge .
Geben Sie sowie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von an.
Zeigen Sie, dass der Graph von in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt.
Betrachtet werden die in
definierten Funktionen
und
, wobei
eine Stammfunktion von
ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen
von
.
Bestimmen Sie den Wert des Integrals .
Bestimmen Sie den Funktionswert von an der Stelle 1; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 1.
Gegeben ist die Funktion mit Definitionsmenge . Geben Sie die Nullstelle von sowie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von an.
Die in
definierte Funktion
besitzt die Nullstelle
, außerdem gilt
für alle
. Abbildung 2 zeigt den Graphen
von
.
Betrachtet wird die Funktion
mit maximaler Definitionsmenge
. Geben Sie
an und ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 diejenige Stelle
, für die
gilt.
Gegeben sind die in definierten Funktionen mit und .
Zeigen Sie, dass gilt.
Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von im Punkt .
Bestimmen Sie diejenigen Werte von , für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die x-Achse in einem Punkt schneidet, dessen x-Koordinate größer als ist.
Gegeben ist die in
definierte Funktion
mit
. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von
ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.
Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von , dass der Graph von symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Begründen Sie, dass genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von für .
Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von .
(zur Kontrolle: )
Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von . Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.
Ist die erste Ableitungsfunktion einer in definierten Funktion , so gilt bekanntlich . Berechnen Sie damit den Wert des Terms .
Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:
Für jede Stammfunktion von und für jede reelle Zahl gilt .
Betrachtet wird nun die Schar der in definierten Funktionen mit .
Zeigen Sie, dass genau ein Graph der Schar den Punkt enthält, und geben Sie den zugehörigen Wert von an.
Der Graph der Funktion ist eine Gerade. Geben Sie die Steigung dieser Gerade und die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der y-Achse an.
Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen , und :
-
-
- oder
Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt.
Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von richtig ist:
Wird der Graph von mit dem gleichen Faktor sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar.
Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:
Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.
Der Graph hat keine Extrempunkte.
Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe II.
Die Extremstellen von
stimmen mit den Lösungen der Gleichung
überein.
Geben Sie zu jeder der beiden Gruppen I und II alle zugehörigen Werte von a an und begründen Sie Ihre Angabe.
Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Gerade.
Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung handelt.
Für jeden positiven Wert von bilden der Hochpunkt des Graphen von , der Punkt , der Koordinatenursprung und der Punkt die Eckpunkte eines Vierecks. Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von , für den das Viereck den Flächeninhalt 49 hat.