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Abitur 2022 Mathematik Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion g : x ↦ 2 x 2 x 2 - 9 mit maximaler Definitionsmenge D g .

Geben Sie D g sowie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von g an.


Zeigen Sie, dass der Graph von g in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt.

Betrachtet werden die in ℝ definierten Funktionen f und F , wobei F eine Stammfunktion von f ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen G F von F .


Bestimmen Sie den Wert des Integrals ∫ 1 7 f ( x )  dx .


Bestimmen Sie den Funktionswert von f an der Stelle 1; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 1.


Gegeben ist die Funktion h : x ↦ ln ( 2 x - 3 ) mit Definitionsmenge D h = ] 3 2 ; + ∞ [ . Geben Sie die Nullstelle von h sowie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von h an.


Die in ℝ definierte Funktion f besitzt die Nullstelle x = 2 , außerdem gilt f ′ ( x ) > 0 für alle x ∈ ℝ . Abbildung 2 zeigt den Graphen G f von f .



Betrachtet wird die Funktion g : x ↦ ln ( f ( x ) ) mit maximaler Definitionsmenge D g . Geben Sie D g an und ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 diejenige Stelle x , für die g ′ ( x ) = f ′ ( x ) gilt.

Gegeben sind die in ℝ definierten Funktionen f a mit f a ( x ) = a ⋅ e - x + 3 und a ∈ ℝ ∖ { 0 } .

Zeigen Sie, dass f a ′ ( 0 ) = - a gilt.


Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von f a im Punkt ( 0 | f a ( 0 ) ) .
Bestimmen Sie diejenigen Werte von a , für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die x-Achse in einem Punkt schneidet, dessen x-Koordinate größer als 1 2 ist.

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit f ( x ) = x ⋅ e - 1 2 x 2 + 1 2 . Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von f ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.


Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von f , dass der Graph von f symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Begründen Sie, dass f genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von f für x → + ∞ .


Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion f ′ von f .

(zur Kontrolle: f ′ ( x ) = ( 1 - x 2 ) ⋅ e - 1 2 x 2 + 1 2 )


Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von f . Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.


Ist g ′ die erste Ableitungsfunktion einer in ℝ definierten Funktion g , so gilt bekanntlich ∫ u v g ′ ( x ) ⋅ e g ( x )  dx = [ e g ( x ) ] u v . Berechnen Sie damit den Wert des Terms ∫ 0 1 f ( x )  dx .


Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:

Für jede Stammfunktion F von f und für jede reelle Zahl w > 2022 gilt F ( w ) - F ( 0 ) ≈ ∫ 0 2022 f ( x )  dx .

Betrachtet wird nun die Schar der in ℝ definierten Funktionen f a : x ↦ x ⋅ e - 1 2 a ⋅ x 2 + 1 2 mit a ∈ ℝ .

Zeigen Sie, dass genau ein Graph der Schar den Punkt ( 1 | 1 ) enthält, und geben Sie den zugehörigen Wert von a an.


Der Graph der Funktion f 0 ist eine Gerade. Geben Sie die Steigung dieser Gerade und die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der y-Achse an.


Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen a , a 1 und a 2 :

- f a ( 0 ) = 0
- f a ′ ( 0 ) = f 0 ′ ( 0 )
- f a 1 ( x ) = f a 2 ( x ) ⇔ a 1 = a 2 oder x = 0

Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt.


Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von a richtig ist:

Wird der Graph von f a mit dem gleichen Faktor k > 0 sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar.

Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:

I Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.
II Der Graph hat keine Extrempunkte.

Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe II.



Die Extremstellen von f a stimmen mit den Lösungen der Gleichung a ⋅ x 2 = 1 überein.

Geben Sie zu jeder der beiden Gruppen I und II alle zugehörigen Werte von a an und begründen Sie Ihre Angabe.


Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Gerade.
Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung y = x handelt.


Für jeden positiven Wert von a bilden der Hochpunkt ( v | f a ( v ) ) des Graphen von f a , der Punkt ( 0 | 2 v ) , der Koordinatenursprung und der Punkt ( v | 0 ) die Eckpunkte eines Vierecks. Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von a , für den das Viereck den Flächeninhalt 49 hat.