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Lösung Abitur Bayern 2021 Mathematik Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe Teil B d  (4 BE)
Ein auf einer Stange montierter Brunnen besteht aus einer Marmorkugel, die in einer Bronzeschale liegt. Die Marmorkugel berührt die vier Innenwände der Bronzeschale an jeweils genau einer Stelle. Die Bronzeschale wird im Modell durch die Seitenflächen der Pyramide ABCDS beschrieben, die Marmorkugel durch eine Kugel mit Mittelpunkt M ( 0 | 0 | 4 ) und Radius r . Die x 1 x 2 -Ebene des Koordinatensystems stellt im Modell den horizontal verlaufenden Erdboden dar; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.
Ermitteln Sie den Durchmesser der Marmorkugel auf Zentimeter genau.

(zur Kontrolle: r = 6 )
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B d

Abstand Punkt - Ebene



M ( 0 | 0 | 4 )

F : x 1 + x 2 - 2 x 3 + 2 = 0 (s. Teilaufgabe Teil B b)

n F = ( 1 1 - 2 ) Normalenvektor der Ebene
Schritt einblenden / ausblenden
| n F | = | ( 1 1 - 2 ) | = 1 2 + 1 2 + ( - 2 ) 2 = 6
Schritt einblenden / ausblenden
F HNF : x 1 + x 2 - 2 x 3 + 2 6 = 0

Abstand bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
r = d ( M , F ) = | 0 + 0 - 2 4 + 2 6 | = | - 6 6 | = 6 6 = 6 6 6 6 = 6

Durchmesser: 2 6 48 , 99  cm

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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