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Lösung Abitur Bayern 2020 Mathematik Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe Teil B c  (6 BE)
Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M ( - 13 | 20 | 0 ) berührt die Ebene E . Bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Berührpunkts F sowie den Kugelradius r .

(zur Kontrolle: F ( - 5 | 4 | 2 ) , r = 18 )
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B c

Lagebeziehung Ebene und Kugel



E : 4 x 1 - 8 x 2 + x 3 + 50 = 0
Lot h auf die Ebene E durch M :
h : X = ( - 13 20 0 ) + μ ( 4 - 8 1 ) n E
Schnitt Ebene und Gerade



Lot h mit Ebene E schneiden: h E
Schritt einblenden / ausblenden
h E : 4 ( - 13 + 4 μ ) - 8 ( 20 - 8 μ ) + μ + 50 = 0 - 52 + 16 u - 160 + 64 μ + μ + 50 = 0 81 μ = 162 μ = 2
Schritt einblenden / ausblenden
F = ( - 13 20 0 ) + 2 ( 4 - 8 1 ) = ( - 5 4 2 )

F ( - 5 | 4 | 2 )
Länge eines Vektors



M F = F - M = ( - 5 4 2 ) - ( - 13 20 0 ) = ( 8 - 16 2 )
Schritt einblenden / ausblenden
r = | M F | = | ( 8 - 16 0 ) | = 8 2 + ( - 16 ) 2 + 2 2 = 324 = 18

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