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Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Stochastik III


 
Teilaufgabe Teil A 2  (3 BE)
Die Zufallsgröße X kann ausschließlich die Werte 1, 4, 9 und 16 annehmen.
Bekannt sind P ( X = 9 ) = 0 , 2 und P ( X = 16 ) = 0 , 1 sowie der Erwartungswert E ( X ) = 5 . Bestimmen Sie mithilfe eines Ansatzes für den Erwartungswert die Wahrscheinlichkeiten P ( X = 1 ) und P ( X = 4 ) .
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil A 2

Erwartungswert einer Zufallsgröße



Mit P ( X = 1 ) = a und P ( X = 4 ) = b ergibt sich fogende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Es gilt: P ( X = 1 ) + P ( X = 4 ) + P ( X = 9 ) + P ( X = 16 ) = 1

a + b + 0 , 2 + 0 , 1 = 1

a + b = 0 , 7 (Gleichung I)


Weiterhin gilt: E ( X ) = 5
Schritt einblenden / ausblenden
5 = 1 P ( X = 1 ) + 4 P ( X = 4 ) + 9 P ( X = 9 ) + 16 P ( X = 16 )

5 = 1 a + 4 b + 9 0 , 2 + 16 0 , 1

5 = a + 4 b + 3 , 4

a + 4 b = 1 , 6 (Gleichung II)


Lineares Gleichungssysem aus I und II lösen:
I. a + b = 0 , 7 II. a + 4 b = 1 , 6

II. - I. : a + 4 b - a - b = 1 , 6 - 0 , 7 3 b = 0 , 9 b = 0 , 3

b = 0 , 3 in I. einsetzen: a + 0 , 3 = 0 , 7 a = 0 , 4

Gesuchte Warscheinlichkeiten: P ( X = 1 ) = 0 , 4 , P ( X = 4 ) = 0 , 3

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