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Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Infinitesimalrechnung I


 
Teilaufgabe Teil A 1  (5 BE)
Gegeben ist die Funktion f : x ↦ e 2 x x mit Definitionsbereich D f = ℝ ∖ { 0 } .
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von f .
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil A 1

Lage von Extrempunkten ermitteln



f ( x ) = e 2 x x , D f = ℝ ∖ { 0 }

Erste Ableitung bilden: f ′ ( x )
Schritt einblenden / ausblenden
f ′ ( x ) = e 2 x ⋅ 2 ⋅ x - e 2 x ⋅ 1 x 2 = e 2 x ⋅ ( 2 x - 1 ) x 2
Schritt einblenden / ausblenden
Erste Ableitung gleich Null setzen: f ′ ( x ) = 0

e 2 x ⋅ ( 2 x - 1 ) x 2 = 0
e 2 x ︸ > 0 ⋅ ( 2 x - 1 ) = 0

2 x - 1 = 0

x E = 1 2


Lage des möglichen Extrempunkts:
y E = f ( 1 2 ) = e 2 ⋅ 1 2 1 2 = 2 e

⇒ E ( 1 2 | 2 e )
Art von Extrempunkten ermitteln



f ′ ( x ) = e 2 x ⋅ ( 2 x - 1 ) x 2
Vorzeichen der ersten Ableitung an der Stelle x = 1 2 untersuchen:
x < 1 2 : e 2 x ︷ > 0 ⋅ ( 2 x - 1 ) ︷ < 0 x 2 ︸ > 0 < 0 x > 1 2 : e 2 x ︷ > 0 ⋅ ( 2 x - 1 ) ︷ > 0 x 2 ︸ > 0 > 0 } ⇒ E ( 1 2 | 2 e ) Tiefpunkt

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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