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Lösung Abitur Bayern 2018 Mathematik Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe Teil B a  (4 BE)
Auf einem Spielplatz wird ein dreieckiges Sonnensegel errichtet, um einen Sandkasten zu beschatten. Hierzu werden an drei Ecken des Sandkastens Metallstangen im Boden befestigt, an deren Enden das Sonnensegel fixiert wird.
In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die x 1 x 2 -Ebene den horizontalen Boden dar. Der Sandkasten wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten K 1 ( 0 | 4 | 0 ) , K 2 ( 0 | 0 | 0 ) , K 3 ( 3 | 0 | 0 ) und K 4 ( 3 | 4 | 0 ) beschrieben. Das Sonnensegel wird durch das ebene Dreieck mit den Eckpunkten S 1 ( 0 | 6 | 2 , 5 ) , S 2 ( 0 | 0 | 3 ) und S 3 ( 6 | 0 | 2 , 5 ) dargestellt (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Die drei Punkte S 1 , S 2 und S 3 legen die Ebene E fest.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform.

(zur Kontrolle: E : x 1 + x 2 + 12 x 3 - 36 = 0 )
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Ebene aus drei Punkte



Richtungsvektoren der Ebene E :
S 2 S 3 = S 3 - S 2 = ( 6 0 2 , 5 ) - ( 0 0 3 ) = ( 6 0 - 0 , 5 )

S 2 S 1 = S 1 - S 2 = ( 0 6 2 , 5 ) - ( 0 0 3 ) = ( 0 6 - 0 , 5 )

S 2 ( 0 | 0 | 3 ) sei Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene E .
Ebenengleichung in Normalenform



Normalenvektor n E der Ebene E bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
S 2 S 3 × S 2 S 1 = ( 6 0 - 0 , 5 ) × ( 0 6 - 0 , 5 ) = ( 3 3 36 )
Schritt einblenden / ausblenden
n E = 1 3 ( 3 3 36 ) = ( 1 1 12 )



Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
E : ( 1 1 12 ) n E X = ( 1 1 12 ) ( 0 0 3 ) S 2

E : x 1 + x 2 + 12 x 3 = 0 + 0 + 36


E : x 1 + x 2 + 12 x 3 - 36 = 0

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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