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Lösung Abitur Bayern 2017 Mathematik Infinitesimalrechnung I


 
Teilaufgabe Teil B 2d  (4 BE)
In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für 0 t 12 modellhaft durch die in definierte Funktion g : t 0 , 4 ( 2 t 3 - 39 t 2 + 180 t ) beschrieben. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und g ( t ) die momentane Änderungsrate des Volumens in m 3 h .
Begründen Sie, dass die Funktionswerte von g für 0 < t < 7 , 5 positiv und für 7 , 5 < t < 12 negativ sind.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2d

Nullstellen einer Funktion



g ( t ) = 0 , 4 ( 2 t 3 - 39 t 2 + 180 t )

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Nullstellen bestimmen: g ( t ) = 0
0 , 4 ( 2 t 3 - 39 t 2 + 180 t ) = 0
2 t 3 - 39 t 2 + 180 t = 0

t ( 2 t 2 - 39 t + 180 ) = 0
Schritt einblenden / ausblenden
t 1 = 0


2 t 2 - 39 t + 180 = 0

t 2 , 3 = 39 ± 1521 - 1440 4 = 39 ± 81 4 = 39 ± 9 4

t 2 = 39 + 9 4 = 12
t 3 = 39 - 9 4 = 7 , 5


Skizze von g ( t ) :
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g ( t ) > 0 für 0 < t < 7 , 5
g ( t ) < 0 für 7 , 5 < t < 12