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Lösung Abitur Bayern 2017 Mathematik Infinitesimalrechnung I


 
Teilaufgabe Teil B 1b  (4 BE)
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von G h . Geben Sie den Grenzwert von h für x + an und begründen Sie, dass [ - 3 ; + [ die Wertemenge von h ist.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1b

Monotonieverhalten einer Funktion



h ( x ) = 3 x ( - 1 + ln x ) mit D h = +
Vorzeichen der ersten Ableitung h ( x ) = 3 ln x untersuchen:
Schritt einblenden / ausblenden
h ( x ) < 0 für x ] 0 , 1 [

h ( x ) > 0 für x > 1
Schritt einblenden / ausblenden
h ( x ) ist für x ] 0 ; 1 ] streng monoton fallend

h ( x ) ist für x [ 1 ; + [ streng monoton steigend
Grenzwert bestimmen



lim x + 3 x + ( - 1 + ln x ) + = +
Schritt einblenden / ausblenden
Wertebereich bestimmen



h ( 1 ) = - 3

Aus dem Monotonieverhalten von G h geht hervor, dass bei ( 1 | - 3 ) ein Minimum vorliegt.

W h = [ - 3 , + [