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Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I


 
Teilaufgabe Teil B 3b  (6 BE)
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an G h im Punkt ( - 2 | h ( - 2 ) ) . Berechnen Sie den Wert, den das Modell für die Größe des Winkels liefert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B 3b

Tangentengleichung ermitteln



h ( x ) = - 1 2 x 2 + 2 x + 4


Tangentengleichung t im Punkt ( - 2 | h ( - 2 ) ) :
Schritt einblenden / ausblenden
t : y = ( x - x 0 ) h ( x 0 ) + h ( x 0 )
t : y = ( x + 2 ) h ( - 2 ) + h ( - 2 )


Nebenrechnungen:

h ( - 2 ) = - 2

h ( x ) = - x + 2

h ( - 2 ) = 4

t : y = 4 ( x + 2 ) - 2 = 4 x + 6
Winkel zwischen zwei Geraden



Betrachtet wird nun das Dreieck, welches von Ursprung, Blattspitze und x -Achsenabschnitt der Tangente t gebildet wird.



Neigungswinkel α der Tangente t gegen die x -Achse bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
tan α = h ( - 2 ) α = tan - 1 ( 4 )


Nebenwinkel zu α : β = 180 - tan - 1 ( 4 )

Winkel an Ursprung: γ = 45


φ = 180 - ( 45 + 180 - tan - 1 ( 4 ) ) 30 , 96

Winkel Blattspitze: 2 φ 61 , 93
Alternative Lösung



Richtungsvektor der Tangente t : ( 1 4 )

Richtungsvektor der Winkelhalbierenden w : ( 1 1 )
Schritt einblenden / ausblenden
cos φ = ( 1 4 ) ( 1 1 ) | ( 1 4 ) | | ( 1 1 ) |
Schritt einblenden / ausblenden
cos φ = 1 + 4 1 2 + 4 2 1 2 + 1 2 = 5 17 2

φ = cos - 1 ( 5 34 ) 30 , 96
Winkel Blattspitze: 2 φ 61 , 93