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Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I


 
Teilaufgabe Teil A 1  (5 BE)
Gegeben ist die Funktion f : x x ln x mit Definitionsmenge + { 1 } . Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von f .
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil A 1

Lage von Extrempunkten ermitteln



f ( x ) = x ln x , D = + { 1 }

Erste Ableitung bilden:
Schritt einblenden / ausblenden
f ( x ) = 1 ln x - x 1 x ( ln x ) 2

f ( x ) = ln x - 1 ( ln x ) 2
Schritt einblenden / ausblenden
Erste Ableitung gleich Null setzen: f ( x ) = 0

0 = ln x - 1 ( ln x ) 2
ln x - 1 = 0

ln x = 1 | e x
x = e 1

x E = e


Lage des möglichen Extrempunkts:
y E = f ( x E ) = f ( e ) = e ln e 1 = e E ( e | e )
Art von Extrempunkten ermitteln



Zweite Ableitung bilden:
Schritt einblenden / ausblenden
f ( x ) = 1 x ( ln x ) 2 - ( ln x - 1 ) 2 ln x 1 x ( ln x ) 4
Schritt einblenden / ausblenden
f ( x ) = 1 x ln x ( ln x - 2 ( ln x - 1 ) ) ( ln x ) 4
f ( x ) = 1 x ln x ( 2 - ln x ) ( ln x ) 4
f ( x ) = ( 2 - ln x ) x ( ln x ) 3
Schritt einblenden / ausblenden
Vorzeichen der zweiten Ableitung an den Extremstellen untersuchen:

f ( e ) = ( 2 - ln e ) 2 - 1 e ( ln e ) 3 1 = 1 e > 0 E ( e | e ) Tiefpunkt