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Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik NT Stochastik S I


 
Teilaufgabe 3.3  (5 BE)
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen.
 
Lösung zu Teilaufgabe 3.3

Erwartungswert und Standardabweichung



Erwartungswert bestimmen:
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μ = E ( X ) = 0 , 4 ⋅ 0 , 2 + 0 , 5 ⋅ 0 , 2 + 0 , 6 ⋅ 0 , 3 + 0 , 7 ⋅ 0 , 2 + 0 , 8 ⋅ 0 , 1 = 0 , 58


Varianz bestimmen:
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V a r ( X ) = E ( X 2 ) - E 2 ( X )

E ( X 2 ) = 0 , 4 2 ⋅ 0 , 2 + 0 , 5 2 ⋅ 0 , 2 + 0 , 6 2 ⋅ 0 , 3 + 0 , 7 2 ⋅ 0 , 2 + 0 , 8 2 ⋅ 0 , 1 = 0 , 352

E 2 ( X ) = 0 , 58 2 = 0 , 3364

V a r ( X ) = E ( X 2 ) - E 2 ( X ) = 0 , 352 - 0 , 3364 = 0 , 0156


Standardabweichung bestimmen:
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σ = V a r ( X ) = 0 , 0156 ≈ 0 , 125
Wahrscheinlichkeit



Gesucht: P ( | X - μ | < σ )
Schritt einblenden / ausblenden
P ( | X - μ | < σ ) = P ( μ - σ < X < μ + σ )

P ( | X - 0 , 58 | < 0 , 125 ) = P ( 0 , 455 < X < 0 , 705 )
Schritt einblenden / ausblenden
P ( | X - 0 , 58 | < 0 , 125 ) = P ( X = 0 , 5 ) + P ( X = 0 , 6 ) + P ( X = 0 , 7 )

P ( | X - 0 , 58 | < 0 , 125 ) = 0 , 2 + 0 , 3 + 0 , 2 = 0 , 7

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