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Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Infinitesimalrechnung I


 
Teilaufgabe Teil 2 2e  (4 BE)
Haben zu Beobachtungsbeginn Sonnenblumen der Sorte Tramonto die gleiche Höhe wie Sonnenblumen der Sorte Alba, so erreichen von da an die Sonnenblumen der Sorte Tramonto im Vergleich zu denen der Sorte Alba jede Höhe in der Hälfte der Zeit.
Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Tramonto lässt sich modellhaft mithilfe einer in definierten Funktion g beschreiben, die eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III mit k + besitzt:

I y = 2 e x + k e x + k + 9 II y = k 2 e x e x + 9 III y = 2 e k x e k x + 9

Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Monaten und y ein Näherungswert für die Höhe einer Blume in Metern.
Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II als Funktionsgleichung von g infrage kommt.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 2e

Anwendungszusammenhang



Begründung:
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Bedingung, die erfüllt werden soll: y ( 0 ) = 0 , 2
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I: y ( 0 ) = 2 e 0 + k e 0 + k + 9 = 2 e k e k + 9

0 , 2 = 2 e k e k + 9 k = 0 (siehe Teilaufgabe Teil 2 1a)

Für k = 0 ist g ( x ) = 2 e x e x + 9 = f ( x ) .

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II: y ( 0 ) = k 2 e 0 e 0 + 9 = 0 , 2 k

0 , 2 = 0 , 2 k k = 1

Für k = 1 ist g ( x ) = 2 e x e x + 9 = f ( x ) .