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Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe d  (6 BE)
Durch das Fenster einfallendes Sonnenlicht wird im Zimmer durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor v = ( - 2 - 8 - 1 ) repräsentiert. Eine dieser Geraden verläuft durch den Punkt G und schneidet die Seitenwand O P Q R im Punkt S . Berechnen Sie die Koordinaten von S sowie die Größe des Winkels, den diese Gerade mit der Seitenwand O P Q R einschließt.
 
Lösung zu Teilaufgabe d

Geradengleichung aufstellen



G ( 2 | 4 | 2 )

v = ( - 2 - 8 - 1 )
Schritt einblenden / ausblenden
g : X = ( 2 4 2 ) G + λ ( - 2 - 8 - 1 ) v
Schnitt Ebene und Gerade



x 1 x 3 -Ebene: X ( 0 1 0 ) n = 0 x 2 = 0

n ist der Normalenvektor der x 1 x 3 -Ebene.
Schritt einblenden / ausblenden
Gerade g mit der x 1 x 3 -Ebene schneiden:
Schritt einblenden / ausblenden
4 - 8 λ = 0

λ = 1 2


λ = 1 2 in g einsetzen und Schnittpunkt S bestimmen:

S = ( 2 4 2 ) + 1 2 ( - 2 - 8 - 1 ) = ( 1 0 1 , 5 ) S ( 1 | 0 | 1 , 5 )
Winkel zwischen Gerade und Ebene



Länge der Vektoren bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
| v | = | ( - 2 - 8 - 1 ) | = ( - 2 ) 2 + ( - 8 ) 2 + ( - 1 ) 2 = 69
| n | = | ( 0 1 0 ) | = 0 + 1 2 + 0 = 1


Winkel α bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
sin α = | v n | | v | | n | = | ( - 2 - 8 - 1 ) ( 0 1 0 ) | | ( - 2 - 8 - 1 ) | | ( 0 1 0 ) | = | 0 - 8 + 0 | 69 1 = 8 69
α = sin - 1 ( 8 69 ) 74 , 38

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