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Abitur 2012 Mathematik Analytische Geometrie V

Abbildung 1 zeigt modellhaft ein Dachzimmer in der Form eines geraden Prismas. Der Boden und zwei der Seitenwände liegen in den Koordinatenebenen. Das Rechteck A B C D liegt in einer Ebene E und stellt den geneigten Teil der Deckenfläche dar.

Teilaufgabe a  (4 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: E : x 2 + 2 x 3 - 8 = 0 )


Teilaufgabe b  (2 BE)

Berechnen Sie den Abstand des Punkts R von der Ebene E .

Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1 m, d. h. das Zimmer ist an seiner höchsten Stelle 3 m hoch.
Das Rechteck G H K L mit G ( 2 | 4 | 2 ) hat die Breite G L ¯ = 1 . Es liegt in der Ebene E , die Punkte H und K liegen auf der Geraden C D . Das Rechteck stellt im Modell ein Dachflächenfenster dar; die Breite des Fensterrahmens soll vernachlässigt werden.
Teilaufgabe c  (5 BE)

Geben Sie die Koordinaten der Punkte L , H und K an und bestimmen Sie den Flächeninhalt des Fensters.

(zur Kontrolle: G H ¯ = 5 )


Teilaufgabe d  (6 BE)

Durch das Fenster einfallendes Sonnenlicht wird im Zimmer durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor v = ( - 2 - 8 - 1 ) repräsentiert. Eine dieser Geraden verläuft durch den Punkt G und schneidet die Seitenwand O P Q R im Punkt S . Berechnen Sie die Koordinaten von S sowie die Größe des Winkels, den diese Gerade mit der Seitenwand O P Q R einschließt.

Teilaufgabe e  (4 BE)

Das Fenster ist drehbar um eine Achse, die im Modell durch die Mittelpunkte der Strecken [ G H ] und [ L K ] verläuft. Die Unterkante des Fensters schwenkt dabei in das Zimmer; das Drehgelenk erlaubt eine zum Boden senkrechte Stellung der Fensterfläche.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M der Strecke [ G H ] und bestätigen Sie rechnerisch, dass das Fenster bei seiner Drehung den Boden nicht berühren kann.

(Teilergebnis: M ( 2 | 5 | 1 , 5 ) )


Abbildung 2 zeigt ein quaderförmiges Möbelstück, das 40 cm hoch ist. Es steht mit seiner Rückseite flächenbündig an der Wand unter dem Fenster. Seine vordere Oberkante liegt im Modell auf der Geraden k : X = ( 0 5 , 5 0 , 4 ) + λ ( 1 0 0 ) , λ .

Teilaufgabe f  (4 BE)

Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 die Breite b des Möbelstücks möglichst genau.
Bestimmen Sie mithilfe der Gleichung der Geraden k die Tiefe t des Möbelstücks und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

(Messungen aus der Original-Abbildung: Höhe h = 12 mm und Breite b = 78 mm)

Teilaufgabe g  (5 BE)

Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Fenster bei seiner Drehung am Möbelstück anstoßen kann.

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