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Lösung Abitur Bayern 2011 Mathematik T Infinitesimalrechnung A II
Teilaufgabe 2.4 (8 BE)
Untersuchen Sie, ob die Funktion mit
an der Nahtstelle stetig ist, begründen Sie, dass die Funktionswerte von an der Nahtstelle ein Minimum aufweisen, und geben Sie den Winkel an, unter dem die Graphen der beiden Teilfunktionen an der Nahtstelle aufeinandertreffen.
an der Nahtstelle stetig ist, begründen Sie, dass die Funktionswerte von an der Nahtstelle ein Minimum aufweisen, und geben Sie den Winkel an, unter dem die Graphen der beiden Teilfunktionen an der Nahtstelle aufeinandertreffen.
Lösung zu Teilaufgabe 2.4
Stetigkeit einer Funktion
Überprüfen auf Stetigkeit:
Schritt einblenden / ausblenden
ist bei stetig
Winkel bestimmen
(siehe Aufgabe 1.2)
(siehe Aufgabe 2.3)
Berechnen der Werte von und :
Schritt einblenden / ausblenden
Steigungswinkel des Graphen der Funktion an der Stelle :
Steigungswinkel des Graphen der Funktion an der Stelle :
Differenz berechnen:
Steigungswinkel des Graphen der Funktion an der Stelle :
Differenz berechnen:
Begründung für ein Minimum an der Nahtstelle :
Der Graph von hat keine Extremstellen (siehe Aufgabe 1.2) und bei die Steigung (siehe Aufgabe 1.3).
( ist monoton fallend auf ganz )
Der Graph von ist auf ganz streng monoton steigend (siehe Aufgabe 2.3).
Die erste Ableitung der Funktion hat somit an der Nahtstelle einen Vorzeichenwechsel von nach .
Der Graph von hat keine Extremstellen (siehe Aufgabe 1.2) und bei die Steigung (siehe Aufgabe 1.3).
( ist monoton fallend auf ganz )
Der Graph von ist auf ganz streng monoton steigend (siehe Aufgabe 2.3).
Die erste Ableitung der Funktion hat somit an der Nahtstelle einen Vorzeichenwechsel von nach .
Schritt einblenden / ausblenden
hat an der Stelle ein Minimum.
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