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Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik LK Stochastik IV


 
Teilaufgabe 5  (6 BE)
Berichten der Europäischen Zentralbank zufolge war in der ersten Hälfte des Jahres 2009 etwa jeder 12700 -ste 20-Euro-Schein gefälscht.
Es wird vermutet, dass die Fälschungsquote bei den 20-Euro-Scheinen inzwischen auf über 8 10 - 5 angestiegen ist. Um diese Vermutung (Nullhypothese) zu testen, werden von der Bundesbank zehn Millionen zufällig ausgewählte 20-Euro-Scheine geprüft. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel auf einem Signifikanzniveau von 5 % unter Verwendung der Normalverteilung als Näherung.
 
Lösung zu Teilaufgabe 5

Hypothesentest - Fehler erster Art



Text analysieren und Daten herauslesen:

Nullhypothese: H 0 : p 0 > 8 10 - 5 = 0 , 00008

Alternative: H 1 : p 1 = 1 12700

Stichprobenumgang: n = 10 000 000 = 10 7

Signifikanzniveau: α = 5 %

Annahmebereich von H 0 : A = [ k + 1 , 10 7 ]

Ablehnungsbereich von H 0 : A ¯ = [ 0 , k ]
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Gesucht ist nun der Fehler erster Art: P 0 , 00008 10 7 ( Z k ) 0 , 05
Binomialverteilung



Erwartungswert und Standardabweichung bestimmen:

μ = n p = 10 7 0 , 00008 = 800

σ = n p q = 10 7 0 , 00008 0 , 99992 28 , 28



Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung:
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P 0 , 00008 10 7 ( Z k ) Φ ( k + 0 , 5 - 800 28 , 28 ) 0 , 05

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Φ ( k + 0 , 5 - 800 28 , 28 ) Φ ( - 1 , 645 )
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k - 799 , 5 28 , 28 - 1 , 645

k - 1 , 645 28 , 28 + 799 , 5

k 752 , 97

k 752


Ablehnungsbereich: A ¯ = [ 0 , 752 ]

Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn höchstens 752 Fälschungen gefunden werden.

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