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Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik LK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 1b  (8 BE)
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts E ( x E | y E ) sowie das Krümmungsverhalten von G f .

[Teilergebnis: x E = 2 e ]

 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Erste Ableitung einer Funktion ermittlen



f ( x ) = 2 x ⋅ ln ( x 2 )

Erste Ableitung bilden:
Schritt einblenden / ausblenden
f ′ ( x ) = 2 ⋅ ln ( x 2 ) + 2 x ⋅ 1 x 2 ⋅ 1 2

f ′ ( x ) = 2 ln ( x 2 ) + 2
Lage von Extrempunkten ermitteln



Erste Ableitung gleich Null setzen:

Schritt einblenden / ausblenden
f ′ ( x ) = 0

2 ln ( x 2 ) + 2 = 0

ln ( x 2 ) = - 1
Schritt einblenden / ausblenden
x 2 = e - 1

⇒ x E = 2 e


Lage des Extrempunkts bestimmen:

y E = f ( x E )

= f ( 2 e )

= 2 ⋅ 2 e ⋅ ln ( 2 e 2 )

= 4 e ln ( 1 e )
Schritt einblenden / ausblenden
= 4 e ⋅ [ ln ( 1 ) ︸ 0 - ln e ] ︸ 1

= - 4 e

⇒ E ( 2 e | - 4 e ) Extrempunkt
Art von Extrempunkten ermitteln



Zweite Ableitung bilden:

f ′ ′ ( x ) = [ 2 ln ( x 2 ) + 2 ] ′

f ′ ′ ( x ) = 2 ⋅ ( 1 x 2 ⋅ 1 2 ) = 2 x
Schritt einblenden / ausblenden
f ′ ′ ( x E ) = f ′ ′ ( 2 e ) = e > 0 ⇒ E ( 2 e | - 4 e ) Tiefpunkt
Krümmungsverhalten einer Funktion



Vorzeichen der zweiten Ableitung untersuchen:

f ′ ′ ( x ) > 0 ⇔ 2 x > 0 ⇔ x > 0
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ G f ist für alle x ∈ D f linksgekrümmt

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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