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Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Infinitesimalrechnung I


 
Teilaufgabe Teil 2 1c  (7 BE)
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten desjenigen Graphenpunkts Q E ( x E | y E ) , der von P den kleinsten Abstand hat. Tragen Sie Q E in Abbildung 1 ein.

(zur Kontrolle: x E = 1 )


 
Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 1c

Extremwertaufgabe



Abstandsfunktion: d ( x ) = x 2 - 2 x + 5 , 25 = ( x 2 - 2 x + 5 , 25 ) 1 2


Erste Ableitung bilden:

d ( x ) = [ ( x 2 - 2 x + 5 , 25 ) 1 2 ]
Schritt einblenden / ausblenden
d ( x ) = 1 2 ( x 2 - 2 x + 5 , 25 ) - 1 2 ( 2 x - 2 )

d ( x ) = 2 x - 2 2 x 2 - 2 x + 5 , 25



Erste Ableitung gleich Null setzen:
Schritt einblenden / ausblenden
d ( x ) = 0 2 x - 2 2 x 2 - 2 x + 5 , 25 = 0
Schritt einblenden / ausblenden
2 x - 2 = 0

x E = 1

y E = f ( x E ) = f ( 1 ) = 1 + 3 = 2

Q E ( 1 | 2 )



Prüfen, dass es sich tatsächlich um ein Minimum handelt:
Schritt einblenden / ausblenden
Vorzeichen der ersten Ableitung untersuchen:
Schritt einblenden / ausblenden
2 x - 2 2 x 2 - 2 x + 5 , 25 > 0 > 0 2 x - 2 > 0 x > 1


2 x - 2 2 x 2 - 2 x + 5 , 25 > 0 < 0 2 x - 2 < 0 x < 1


An der Stelle x = 1 wechselt die erste Ableitung ihr Vorzeichen von ( - ) nach ( + ) .

Q E ( 1 | 2 ) Minimum
Skizze