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Abitur 2011 G8 Abitur Mathematik Infinitesimalrechnung I

Gegeben ist die Funktion f : x 2 x + 3 4 x + 5 mit maximaler Definitionsmenge D .
Geben Sie D an und ermitteln Sie einen möglichst einfachen Funktionsterm für die Ableitung f von f .

Zeigen Sie, dass F : x 1 4 x 2 ( 2 ln x - 1 ) mit Definitionsmenge + eine Stammfunktion der in + definierten Funktion f : x x ln x ist.
Bestimmen Sie einen Term derjenigen Stammfunktion von f , die in x = 1 eine Nullstelle hat.

Die Anzahl der auf der Erde lebenden Menschen wuchs von 6 , 1 Milliarden zu Beginn des Jahres 2000 auf 6 , 9 Milliarden zu Beginn des Jahres 2010. Dieses Wachstum lässt sich näherungsweise durch eine Exponentialfunktion mit einem Term der Form N ( x ) = N 0 e k ( x - 2000 ) beschreiben, wobei N ( x ) die Anzahl der Menschen zu Beginn des Jahres x ist.
Bestimmen Sie N 0 und k .

Betrachtet wird die Aussage 0 π sin ( 2 x ) d x = 0 .
Machen Sie ohne Rechnung anhand einer sorgfältigen Skizze plausibel, dass die Aussage wahr ist.

Weisen Sie mithilfe einer Stammfunktion die Gültigkeit der Aussage durch Rechnung nach.

Gegeben ist die Funktion f : x x + 3 mit Definitionsmenge D f . Abbildung 1 zeigt den Graphen G f von f , einen beliebigen Punkt Q ( x | f ( x ) ) auf G f sowie den Punkt P ( 1 , 5 | 0 ) auf der x -Achse.
Begründen Sie, dass D f = [ - 3 ; + [ die maximale Definitionsmenge von f ist. Wie geht G f aus dem Graphen der in 0 + definierten Funktion w : x x hervor?

Zeigen Sie, dass für die Entfernung d ( x ) des Punkts Q ( x | f ( x ) ) vom Punkt P ( 1 , 5 | 0 ) gilt: d ( x ) = x 2 - 2 x + 5 , 25 .

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten desjenigen Graphenpunkts Q E ( x E | y E ) , der von P den kleinsten Abstand hat. Tragen Sie Q E in Abbildung 1 ein.

(zur Kontrolle: x E = 1 )



Weisen Sie nach, dass die Verbindungsstrecke [ P Q E ] und die Tangente an G f im Punkt Q E senkrecht zueinander sind.

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von G f , der x -Achse und der Strecke [ P Q E ] begrenzt wird.

Abbildung 2 zeigt den Graphen G g einer in { 1 } definierten gebrochenrationalen Funktion g mit folgenden Eigenschaften:
  • Die Funktion g hat in x = 1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel;
  • G g verläuft stets oberhalb seiner schrägen Asymptote, die durch die Gleichung y = 1 2 x - 1 gegeben ist;
  • die einzige Nullstelle von g ist x = - 1 .


Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 näherungsweise den Wert der Ableitung g von g an der Stelle x = - 1 ; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.
Aus der Gleichung der schrägen Asymptote ergibt sich unmittelbar das Verhalten der Ableitung g für x + und x - . Geben Sie dieses Verhalten an und skizzieren Sie den Graphen von g in Abbildung 2.

Die Funktion g hat eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III mit a { 0 } :

I y = x - 1 + a ( x - 1 ) 2 II y = 1 2 x - 1 + a x - 1 III y = 1 2 x - 1 + a ( x - 1 ) 2

Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II als Funktionsgleichung von g infrage kommt.
Die Funktionsgleichung von g hat also die Form III. Bestimmen Sie den passenden Wert von a .

Betrachtet wird nun die Funktion h mit h ( x ) = ln ( g ( x ) ) . Geben Sie mithilfe des Verlaufs von G g die maximale Definitionsmenge D h von h , das Verhalten von h an den Grenzen von D h sowie einen Näherungswert für die Nullstelle von h an.