über 250 kostenlose
Abituraufgaben
Lösung als Video
und ausformuliert
Alle Lösungen von
erfahrenen Lehrern
 
 
 
 
Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik GK Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe 1c  (8 BE)
Exakte Messungen am Marmorkörper zeigen, dass der Punkt D im Modell die Lage des vierten Eckpunkts der Grundfläche beschreibt.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E , die die Grundfläche A B C D enthält, in Normalenform. Weisen Sie nach, dass die Deckfläche parallel zur Grundfläche ist und von dieser den Abstand 12 hat.

[mögliches Teilergebnis: E : 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 = 0 ]

 
Lösung zu Teilaufgabe 1c

Ebenengleichung in Normalenform





A = ( 0 0 0 ) ist Ortsvektor (des Aufpunkts) der Ebene E .

A B = ( - 6 - 12 12 ) und B C = ( 24 - 24 - 12 ) (in Teilaufgabe 1b berechnet) sind Richtungsvektoren der Ebene E .


Richtungsvektoren vereinfachen:
Schritt einblenden / ausblenden
1 6 A B = 1 6 ( - 6 - 12 12 ) = ( - 1 - 2 2 )

1 12 B C = 1 12 ( 24 - 24 - 12 ) = ( 2 - 2 - 1 )


Normalenvektor n E der Ebene E aus den beiden (vereinfachten) Richtungsvektoren bestimmen:

A B × B C = ( - 1 - 2 2 ) × ( 2 - 2 - 1 )
Schritt einblenden / ausblenden
A B × B C = ( 6 3 6 )


Normalenvektor vereinfachen:
Schritt einblenden / ausblenden
n E = 1 3 ( 6 3 6 ) = ( 2 1 2 )


Normalenform E N der Ebene E :
Schritt einblenden / ausblenden
E N : X ( 2 1 2 ) = ( 0 0 0 ) ( 2 1 2 )

E N : 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 = 0
Lagebeziehung von Ebenen



Die Ebene mit Aufpunkt A und Richtungsvektoren A B = ( - 2 - 4 4 ) und B C = ( 8 - 8 4 ) enthält die Deckenfläche A B C D .


Vereinfachen der Richtungsvektoren ergibt:

1 2 A B = 1 2 ( - 2 - 4 4 ) = ( - 1 - 2 2 ) = 1 6 A B

1 4 B C = 1 4 ( 8 - 8 4 ) = ( 2 - 2 1 ) = 1 12 B C


Die (vereinfachten) Richtungsvektoren der Ebene A B C D entsprechen den Richtungsvektoren der Ebene A B C D . Die aus den Richtungsvektoren resultierenden Normalenvektoren sind gleich. Somit sind Grundfläche und Deckfläche des Marmorkörpers parallel.
Abstand paralleler Ebenen



Betrag des Normalenvektors n E bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
| n E | = ( 2 1 2 ) 2 = 2 2 + 1 2 + 2 2 = 9 = 3


Hesse-Normalenform E H N F der Ebene E aufstellen:
Schritt einblenden / ausblenden
E H N F : 1 3 ( 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 ) = 0



Abstand der Ebene A B C D von der Ebene E bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
d ( A , E ) = 1 3 ( 2 14 - 8 + 2 8 ) = 12

Themen-Übersicht
Themen
Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
Feedback:
Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?