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Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe Teil 2 5a  (10 BE)
Die Funktion f : t ↦ 3 ( 1 - e - t ) - t wird im Definitionsbereich D f = ℝ 0 + betrachtet. Der Graph von f wird mit G f bezeichnet.
Bestimmen Sie das Verhalten von f an den Grenzen von D f .
Zeigen Sie, dass G f genau einen Hochpunkt besitzt, und berechnen Sie dessen Koordinaten.
Berechnen Sie f ( 3 ) und skizzieren Sie G f mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse.

[Zur Kontrolle: Hochpunkt an der Stelle t = ln 3 ]

 
Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 5a

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs



f ( t ) = 3 ( 1 - e - t ) - t , D f = ℝ 0 + = [ 0 ; ∞ [

f ( 0 ) = 3 ( 1 - e 0 ︸ 1 ) - 0 = 0

lim t → ∞ f ( x ) = lim t → ∞ 3 ( 1 - e - t ︸ → 0 ) ︸ → 3 - t ︸ → ∞ = - ∞

Schritt einblenden / ausblenden
⇒ y = 3 - t ist schräge Asymptote
Art von Extrempunkten ermitteln



Erste Ableitung bilden:

f ′ ( t ) = [ 3 ( 1 - e - t ) - t ] ′
Schritt einblenden / ausblenden
= - 3 e - t ⋅ ( - 1 ) - 1

= 3 e - t - 1


Erste Ableitung gleich Null setzen:
Schritt einblenden / ausblenden
f ′ ( t ) = 0 ⇔ 3 e - t - 1 = 0

3 e t = 1 | ⋅ e t

e t = 3 | logarithmieren

ln e t = ln 3
Schritt einblenden / ausblenden
t E = ln 3


Zweite Ableitung bilden:

f ′ ′ ( t ) = ( 3 e - t - 1 ) ′
Schritt einblenden / ausblenden
= 3 e - t ⋅ ( - 1 )

= - 3 e - t ︸ > 0 ︷ < 0

⇒ f ′ ′ ( t ) < 0 für alle t ∈ D f


Art des Extrempunktes:
Schritt einblenden / ausblenden
G f hat an der Stelle t E = ln 3 ein Hochpunkt.
Lage von Extrempunkten ermitteln



y E = f ( t E ) = f ( ln 3 ) = 3 ( 1 - e - ln 3 ) - ln 3 = 3 ( 1 - 1 3 ) - ln 3 = 2 - ln 3

⇒ E ( ln 3 | 2 - ln 3 ) Hochpunkt
Funktionswert berechnen



f ( 3 ) = 3 ( 1 - e - 3 ) - 3 ≈ - 0 , 15
Skizze




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