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Abitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung I

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f : x ( e x - 2 ) ( x 3 - 2 x ) mit Definitionsbereich .

Gegeben ist die Funktion f : x ln x x - 2 mit maximalem Definitionsbereich D f .
Geben Sie D f an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 1 .

Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion f an, die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:
  • Der Graph von f berührt an der Stelle x = 1 die x -Achse.

  • f hat x = 3 als Polstelle.

Bestimmen Sie den Term einer Stammfunktion der Funktion f : x ln ( 2 x ) , D f = + .

Für x 1 sind die Funktionen mit den folgenden Termen gegeben:
f ( x ) = x - a , g ( x ) = ln x , h ( x ) = - 1 x + b mit a , b

Ordnen Sie die Funktionen den nachfolgenden Graphen zu und bestimmen Sie die Parameter a und b . Erklären Sie Ihr Vorgehen.


Gegeben ist die Funktion f : x - 1 2 x 2 + 2 mit D f = .
Zeichnen Sie den Graphen G f in ein Koordinatensystem.

Dem Flächenstück, das G f mit der x -Achse einschließt, werden Rechtecke so einbeschrieben, dass jeweils eine Rechteckseite auf der x -Achse liegt. Berechnen Sie den größtmöglichen Flächeninhalt A eines solchen Rechtecks.
[Ergebnis: A = 16 9 3 ]

Berechnen Sie, wie viel Prozent des Flächenstücks, das G f mit der x -Achse einschließt, vom Rechteck maximalen Flächeninhalts aus Teilaufgabe 6b bedeckt werden.

Gegeben sind die Funktionen g : x e - 1 4 x , D g = , und h : x e - 1 4 x cos x , D h = . Der Graph von h ist für x 0 im nachfolgenden Diagramm dargestellt.

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von g und geben Sie das Verhalten von g für x + und x - an.
Berechnen Sie die Funktionswerte g ( 0 ) , g ( π ) , g ( 2 π ) , g ( 3 π ) , und g ( 4 π ) und zeichnen Sie damit die Graphen von g und von - g in obiges Koordinatensystem ein.

Die Funktion h entsteht aus der Kosinusfunktion x cos x , D = , durch Multiplikation mit der Funktion g . Beschreiben Sie, inwiefern sich der Graph von h aufgrund dieser Multiplikation vom Graph der Kosinusfunktion unterscheidet. Gehen Sie dabei auch auf die Nullstellen von h und die Funktionswerte h ( n π ) , n ein.

Berechnen Sie den Term h ( x ) der ersten Ableitung von h und weisen Sie nach, dass für Extremstellen von h gilt: tan x = - 0 , 25 . Zeigen Sie damit, dass die Extremstellen von h gegenüber den Extremstellen der Kosinusfunktion verschoben sind.

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen I und II wahr oder falsch sind, und machen Sie Ihre Antworten plausibel:

  1. lim x - h ( x ) = +

  2. lim x + h ( x ) = 0


Die Funktion H : x 16 17 e - 1 4 x ( sin x - 1 4 cos x ) , D H = , ist Stammfunktion von h .
Zeigen Sie durch Rechnung, dass 0 2 π h ( x ) d x positiv ist, und deuten Sie diesen Zusammenhang am Graph von h .

Es gibt Werte a > 0 , für die 0 a h ( x ) d x negativ ist. Geben Sie einen solchen Wert an und begründen Sie Ihre Wahl ohne Rechnung.