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Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe 1a  (5 BE)
In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Würfel W der Kantenlänge 6 gegeben. Die Eckpunkte G 1 ( 0 | 0 | 0 ) und D 3 ( 6 | 6 | 6 ) legen eine Raumdiagonale fest.
Bestimmen Sie in Koordinatenform eine Gleichung der Ebene E , die durch die Punkte D 1 , G 2 und D 3 verläuft, und zeichnen Sie die Schnittfigur der Ebene E mit dem Würfel W ein.
[mögliches Ergebnis: E : x 1 - x 2 + x 3 = 6 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ebene aus drei Punkte



D 1 ( 0 | 0 | 6 ) , G 2 ( 6 | 0 | 0 ) , D 3 ( 6 | 6 | 6 )


Richtungsvektoren der Ebene E bestimmen:

G 2 D 1 = D 1 - G 2 = ( 0 0 6 ) - ( 6 0 0 ) = ( - 6 0 6 )

G 2 D 3 = D 3 - G 2 = ( 6 6 6 ) - ( 6 0 0 ) = ( 0 6 6 )


G 2 sei der Aufpunkt der Ebene.
Ebenengleichung in Normalenform



(hier auch Koordinatenform genannt)

Normalenvektor n E der Ebene E aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen:
G 2 D 1 × G 2 D 3 = ( - 6 0 6 ) × ( 0 6 6 )
Schritt einblenden / ausblenden
= ( - 36 36 - 36 )



Normalenvektor vereinfachen:
Schritt einblenden / ausblenden
n E = - 1 36 ( - 36 36 - 36 ) = ( 1 - 1 1 )


Normalenform E N der Ebene E :
Schritt einblenden / ausblenden
E N : X ( 1 - 1 1 ) = ( 6 0 0 ) ( 1 - 1 1 )

E N : x 1 - x 2 + x 3 = 6
Skizze




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