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Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe 1e  (5 BE)
Zeigen Sie, dass dieser Abstand mit der minimalen Entfernung des Hubschraubers vom Mittelpunkt des Grundstücks übereinstimmt, der im Modell durch den Punkt M ( - 40 | 30 | 30 ) dargestellt wird.
 
Lösung zu Teilaufgabe 1e

Abstand Punkt - Gerade



Gegeben: g : X = ( - 20 40 40 ) + λ ( 4 5 - 3 ) , M ( - 40 | 30 | 30 )

Zu Zeigen: d ( M , g ) = 20


Schritt einblenden / ausblenden
Hilfsebene durch M senkrecht zu g bilden:
Schritt einblenden / ausblenden
H : X ( 4 5 - 3 ) R V g = ( - 40 30 30 ) M ( 4 5 - 3 ) R V g H : 4 x 1 + 5 x 2 - 3 x 3 = - 100


g mit H schneiden:
Schritt einblenden / ausblenden
g H : 4 ( - 20 + 4 λ ) + 5 ( 40 + 5 λ ) - 3 ( 40 - 3 λ ) = - 100 - 80 + 16 λ + 200 + 25 λ - 120 + 9 λ = - 100 50 λ = - 100 λ = - 2

λ = - 2 in g : F = ( - 20 40 40 ) - 2 ( 4 5 - 3 ) = ( - 28 30 46 )


Abstand bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
d ( M , g ) = | M F | = | F - M |

= | ( - 28 30 46 ) - ( - 40 30 30 ) | = | ( 12 0 16 ) |

= 144 + 256 = 400 = 20
Alternative Lösung



Alternativer Rechenweg

g : X = ( - 20 40 40 ) G + λ ( 4 5 - 3 ) R V g

d ( M , g ) = | M G × R V g | | R V g |

= | ( 20 10 10 ) × ( 4 5 - 3 ) | 16 + 25 + 9 = 20 | ( - 4 5 3 ) | 50 = 20 50 50 = 20

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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