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Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe 1a  (8 BE)
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A ( 0 | 60 | 0 ) , B ( - 80 | 60 | 60 ) und C ( - 80 | 0 | 60 ) gegeben.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E , die durch die Punkte A , B und C bestimmt wird, in Normalenform. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat E ? Berechnen Sie die Größe des Winkels φ , unter dem E die x 1 x 2 -Ebene schneidet.

(mögliche Teilergebnisse: E : 3 x 1 + 4 x 3 = 0 ; φ 36 , 9 )

 
Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ebene aus drei Punkte



A ( 0 | 60 | 0 ) , B ( - 80 | 60 | 60 ) , C ( - 80 | 0 | 60 )


Richtungsvektoren der Ebene E bestimmen:

A B = B - A = ( - 80 60 60 ) - ( 0 60 0 ) = ( - 80 0 60 )

A C = C - A = ( - 80 0 60 ) - ( 0 60 0 ) = ( - 80 - 60 60 )

A sei der Aufpunkt der Ebene.
Ebenengleichung in Normalenform



Normalenvektor n E der Ebene E bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
A B × A C = ( - 80 0 60 ) × ( - 80 - 60 60 ) = ( 0 + 3600 - 4800 + 4800 4800 - 0 ) = ( 3600 0 4800 )

Normalenvektor vereinfachen:
Schritt einblenden / ausblenden
n E = 1 1200 ( 3600 0 4800 ) = ( 3 0 4 )


Normalenform der Ebene E :
Schritt einblenden / ausblenden
E : X ( 3 0 4 ) = ( 0 60 0 ) ( 3 0 4 ) E : 3 x 1 + 4 x 3 = 0
Besondere Lage im Koordinatensystem



Die x 2 -Koordinate von n E ist Null und A liegt auf der x 2 -Achse.

E enthält die x 2 -Achse.
Winkel zwischen zwei Ebenen



x 1 x 2 -Ebene: X ( 0 0 1 ) x 3 = 0
Schritt einblenden / ausblenden
Winkel φ zwischen den Normalenvektoren bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
cos φ = n E x 3 | n E | | x 3 | = ( 3 0 4 ) ( 0 0 1 ) 9 + 16 1 = 4 5

φ = cos - 1 ( 4 5 ) 36 , 9

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