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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe 1a  (4 BE)
In einem kartesischen Koordinatensystem des 3 sind die Punkte A ( 0 | 0 | 2 ) , C ( 1 | 4 | 1 ) , D ( - 1 | 2 | 0 ) und die Gerade g : x = ( 2 0 1 ) + λ ( 0 1 1 ) , λ , gegeben.
Zeigen Sie, dass die drei Punkte A , C und D eine Ebene E festlegen, und bestimmen Sie eine Gleichung von E in Normalenform.

[mögliches Ergebnis: E : 2 x 1 - x 2 - 2 x 3 + 4 = 0 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ebene aus drei Punkte





A ( 0 | 0 | 2 ) , C ( 1 | 4 | 1 ) , D ( - 1 | 2 | 0 )
Richtungsvektoren der Ebene E bestimmen:

A C = C - A = ( 1 4 1 ) - ( 0 0 2 ) = ( 1 4 - 1 )

A D = D - A = ( - 1 2 0 ) - ( 0 0 2 ) = ( - 1 2 - 2 )
Überprüfen ob die Richtungsvektoren parallel sind:
Schritt einblenden / ausblenden
( 1 4 - 1 ) = k ( - 1 2 - 2 ) 1 = - k 4 = 2 k - 1 = - 2 k k = - 1 k = 2 k = 1 2 Widerspruch!

Die Richtungsvektoren sind nicht parallel.

Die Punkte A , B und C legen eine Ebene E fest
Ebenengleichung in Normalenform



Normalenvektor n E der Ebene E aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen:
A C × A D = ( 1 4 - 1 ) × ( - 1 2 - 2 )
Schritt einblenden / ausblenden
= ( - 6 3 6 )

Normalenvektor vereinfachen:
Schritt einblenden / ausblenden
n E = - 1 3 ( - 6 3 6 ) = ( 2 - 1 - 2 )
Normalenform E N der Ebene E :
Schritt einblenden / ausblenden
E N : X ( 2 - 1 - 2 ) = ( 0 0 2 ) ( 2 - 1 - 2 )

E N : 2 x 1 - x 2 - 2 x 3 = - 4

E N : 2 x 1 - x 2 - 2 x 3 + 4 = 0

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