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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe 1a  (6 BE)
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des 3 der Punkt A ( 2 | - 1 | - 2 ) und die Menge der Punkte B k ( 2 | 5 | k ) mit k .
Die Punkte A , B - 2 und B 6 bilden ein Dreieck, das in einer Ebene E liegt.
(Nachweis nicht erforderlich)
Zeigen Sie, dass das Dreieck bei B - 2 einen rechten Winkel hat, und geben Sie eine Gleichung von E in Normalenform an. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat E ?
[mögliches Ergebnis: E : x 1 - 2 = 0 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a

Winkel zwischen zwei Vektoren



A ( 2 | - 1 | - 2 ) , B - 2 ( 2 | 5 | - 2 ) , B 6 ( 2 | 5 | 6 )
B - 2 A = A - B - 2 = ( 2 - 1 - 2 ) - ( 2 5 - 2 ) = ( 0 - 6 0 )

B - 2 B 6 = B 6 - B - 2 = ( 2 5 6 ) - ( 2 5 - 2 ) = ( 0 0 8 )
Prüfen ob die Vektoren B - 2 A und B - 2 B 6 senkrecht aufeinander stehen:

B - 2 A B - 2 B 6 = ( 0 - 6 0 ) ( 0 0 8 ) = 0 + 0 + 0 = 0

die Vektoren stehen senkrecht aufeinander

das Dreieck hat bei B - 2 einen rechten Winkel
Ebene aus drei Punkte



Die Vektoren B - 2 A und B - 2 B 6 bilden die Richtungsvektoren der Ebene E . Der Punkt B z.B. ist der Aufpunkt der Ebene.
Ebenengleichung in Normalenform



Normalenvektor n E der Ebene E aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen:

B - 2 A × B - 2 B 6 = ( 0 - 6 0 ) × ( 0 0 8 )
Schritt einblenden / ausblenden
= ( - 48 0 0 )

Normalenvektor vereinfachen:
Schritt einblenden / ausblenden
n E = - 1 48 ( - 48 0 0 ) = ( 1 0 0 )
Normalenform E N der Ebene E :
Schritt einblenden / ausblenden
E N : X ( 1 0 0 ) = ( 2 5 - 2 ) ( 1 0 0 )

E N : x 1 = 2

E N : x 1 - 2 = 0
Besondere Lage im Koordinatensystem



Die Ebene E ist parallel zur x 2 x 3 -Ebene, da der Normalenvektor n E = ( 1 0 0 ) (Richtungsvektor der x 1 -Achse) sowohl auf der x 2 -Achse als auch auf der x 3 -Achse senkrecht steht.

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