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Abitur 2010 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

In einem kartesischen Koordinatensystem des ℝ 3 sind die Punkte A ( 0 | 0 | 2 ) , C ( 1 | 4 | 1 ) , D ( - 1 | 2 | 0 ) und die Gerade g : x → = ( 2 0 1 ) + λ ⋅ ( 0 1 1 ) , λ ∈ ℝ , gegeben.
Teilaufgabe 1a  (4 BE)

Zeigen Sie, dass die drei Punkte A , C und D eine Ebene E festlegen, und bestimmen Sie eine Gleichung von E in Normalenform.

[mögliches Ergebnis: E : 2 x 1 - x 2 - 2 x 3 + 4 = 0 ]

Teilaufgabe 1b  (6 BE)

Die Gerade g schneidet die Ebene E in einem Punkt B . Berechnen Sie die Koordinaten von B und zeigen Sie, dass der Punkt B das Dreieck A C D zu einem Quadrat A B C D ergänzt.

[Teilergebnis: B ( 2 | 2 | 3 ) ]

Zusätzlich ist die Geradenschar h t : x → = ( 2 t t 2 ) + μ ⋅ ( t - 1 t + 1 2 t ) mit μ , t ∈ ℝ gegeben.
Teilaufgabe 2a  (3 BE)

Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Schar der Geraden h t enthalten ist.

Teilaufgabe 2b  (5 BE)

Eine der Schargeraden h t ist parallel zur Ebene E . Bestimmen Sie den zugehörigen Scharparameter t und den Abstand dieser Geraden von E .

Teilaufgabe 3a  (6 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten des von B verschiedenen Punktes P ∈ g so, dass die Geraden P A und P C senkrecht zueinander stehen.

Teilaufgabe 3b  (6 BE)

Begründen Sie, dass es eine Kugel K mit Mittelpunkt M ∈ E gibt, auf der die Punkte A , B , C , D und P liegen. Ermitteln Sie die Koordinaten von M und den Radius r von K .

[zur Kontrolle: M ( 0 , 5 | 2 | 1 , 5 ) ; r = 3 2 2 ]

Teilaufgabe 3c  (4 BE)

Prüfen Sie, ob der Ursprung O des Koordinatensystems innerhalb oder außerhalb der Kugel F liegt, und geben Sie die Radien der Kugeln um den Ursprung an, die die Kugel K berühren.

Teilaufgabe 4  (6 BE)

Für einen Punkt Q ∈ g wird der Flächeninhalt des Dreiecks A Q C minimal. Bestimmen Sie diesen minimalen Flächeninhalt.

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