Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des der Punkt und die Menge der Punkte mit .
Die Punkte , und bilden ein Dreieck, das in einer Ebene liegt.
(Nachweis nicht erforderlich)
Zeigen Sie, dass das Dreieck bei einen rechten Winkel hat, und geben Sie eine Gleichung von in Normalenform an. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat ?
[mögliches Ergebnis: ]
Zeichnen Sie das Dreieck in ein Koordinatensystem (vgl. Skizze) ein. | |
Weisen Sie nach, dass die Gerade den Innenwinkel des Dreiecks bei halbiert.
Berechnen Sie die Koordinaten des Inkreismittelpunkts des Dreiecks und tragen Sie in die Zeichnung ein. Geben Sie den Radius des Inkreises an.
[zur Kontrolle: ]
Im Folgenden bezeichnet die Parallele zur -Achse durch den Punkt und die Gerade, auf der die Punkte liegen.
Zeigen Sie, dass die Geraden und windschief sind.
bezeichnet die von der Geraden und dem Punkt bestimmte Ebene. Ermitteln Sie für eine Gleichung in Normalenform.
[mögliches Ergebnis: ]
Das in Teilaufgabe 2b angegebene Ergebnis lässt sich als Ebenenschar deuten. Zeigen Sie, dass die Ebene die Gerade enthält, aber nicht der Ebenenschar angehört. In welcher Lagebeziehung stehen die Ebene und die Gerade zueinander?
Das Dreieck aus Aufgabe 1 bildet die Grundfläche einer Pyramide, deren Spitze der Punkt ist.
Ermitteln Sie alle für die Koordinaten , und möglichen Werte, wenn die Pyramide das Volumen hat.
Auf den in Teilaufgabe 1d betrachteten Kreis wird nun eine Halbkugel – ebenfalls mit als Mittelpunkt und als Radius – gesetzt. Kann so gewählt werden, dass diese Halbkugel ganz im Inneren der Pyramide liegt? Machen Sie Ihre Antwort plausibel.