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Abitur 2010 Mathematik LK Analytische Geometrie V

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des ℝ 3 der Punkt A ( 2 | - 1 | - 2 ) und die Menge der Punkte B k ( 2 | 5 | k ) mit k ∈ ℝ .
Die Punkte A , B - 2 und B 6 bilden ein Dreieck, das in einer Ebene E liegt.
(Nachweis nicht erforderlich)
Teilaufgabe 1a  (6 BE)

Zeigen Sie, dass das Dreieck bei B - 2 einen rechten Winkel hat, und geben Sie eine Gleichung von E in Normalenform an. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat E ?
[mögliches Ergebnis: E : x 1 - 2 = 0 ]

Teilaufgabe 1b  (2 BE)

Zeichnen Sie das Dreieck in ein Koordinatensystem (vgl. Skizze) ein.

Teilaufgabe 1c  (5 BE)

Weisen Sie nach, dass die Gerade A B 1 den Innenwinkel des Dreiecks bei A halbiert.

Teilaufgabe 1d  (6 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten des Inkreismittelpunkts M des Dreiecks A B - 2 B 6 und tragen Sie M in die Zeichnung ein. Geben Sie den Radius r des Inkreises an.
[zur Kontrolle: M ( 2 | 3 | 0 ) ]

Im Folgenden bezeichnet a die Parallele zur x 1 -Achse durch den Punkt A und b die Gerade, auf der die Punkte B k liegen.
Teilaufgabe 2a  (4 BE)

Zeigen Sie, dass die Geraden a und b windschief sind.

Teilaufgabe 2b  (4 BE)

F k bezeichnet die von der Geraden a und dem Punkt B k bestimmte Ebene. Ermitteln Sie für F k eine Gleichung in Normalenform.
[mögliches Ergebnis: F k : ( 2 + k ) x 2 - 6 x 3 + k - 10 = 0 ]

Teilaufgabe 2c  (4 BE)

Das in Teilaufgabe 2b angegebene Ergebnis lässt sich als Ebenenschar deuten. Zeigen Sie, dass die Ebene G : x 2 + 1 = 0 die Gerade a enthält, aber nicht der Ebenenschar F k angehört. In welcher Lagebeziehung stehen die Ebene G und die Gerade b zueinander?

Das Dreieck A B - 2 B 6 aus Aufgabe 1 bildet die Grundfläche einer Pyramide, deren Spitze der Punkt S ( s 1 | s 2 | s 3 ) ist.
Teilaufgabe 3a  (5 BE)

Ermitteln Sie alle für die Koordinaten s 1 , s 2 und s 3 möglichen Werte, wenn die Pyramide das Volumen 48 hat.

Teilaufgabe 3b  (4 BE)

Auf den in Teilaufgabe 1d betrachteten Kreis wird nun eine Halbkugel – ebenfalls mit M als Mittelpunkt und r als Radius – gesetzt. Kann S so gewählt werden, dass diese Halbkugel ganz im Inneren der Pyramide liegt? Machen Sie Ihre Antwort plausibel.

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