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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe 1b  (6 BE)
Die Ebene E enthält den Punkt B und die Gerade g . Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat die Ebene E ?
[mögliches Ergebnis: 2 x 1 - x 2 - 9 = 0 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Ebene aus Punkt und Gerade





A ( 7 | 5 | 1 )

B ( 2 | - 5 | 6 )

g : X = ( 7 5 1 ) + λ ( 1 2 0 )
B = ( 2 - 5 6 ) Ortsvektor (des Aufpunkts) der Ebene E

v = ( 1 2 0 ) Richtungsvektor der Geraden g ist ein Richtungsvektor der Ebene E

Zweiter Richtungsvektor der Ebene E bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
A B = B - A = ( 2 - 5 6 ) - ( 7 5 1 ) = ( - 5 - 10 5 ) (Verbindugsvektor von A und B )
Ebenengleichung in Normalenform



Normalenvektor n E der Ebene E aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen:
v × A B = ( 1 2 0 ) × ( - 5 - 10 5 )
Schritt einblenden / ausblenden
= ( 10 - 5 0 )

Normalenvektor vereinfachen:
Schritt einblenden / ausblenden
n E = 1 5 ( 10 - 5 0 ) = ( 2 - 1 0 )
Normalenform E N der Ebene E :
Schritt einblenden / ausblenden
E N : X ( 2 - 1 0 ) = ( 2 - 5 6 ) ( 2 - 1 0 )

E N : 2 x 1 - x 2 = 9

E N : 2 x 1 - x 2 - 9 = 0
Besondere Lage im Koordinatensystem





Die Ebene E ist parallel zur x 3 -Achse, da der Normalenvektor n E der Ebene senkrecht zum Richtungsvektor ( 0 0 1 ) der x 3 -Achse steht.
Schritt einblenden / ausblenden
( 2 - 1 0 ) ( 0 0 1 ) = 2 0 - 1 0 + 0 1 = 0

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