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Abitur 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie V

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A ( - 3 | 2 | - 1 ) , B ( - 1 | - 1 | - 3 ) und S ( 3 | 7 | - 11 ) sowie die Geraden g = A B und h : x = ( 7 4 6 ) + λ ( - 2 3 2 ) , λ , gegeben.
Teilaufgabe 1a  (8 BE)

Zeigen Sie, dass die Geraden g und h echt parallel zueinander sind. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E , die die Geraden g und h enthält, in Normalenform.

[mögliches Ergebnis: E : x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 - 3 = 0 ]

Teilaufgabe 1b  (6 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Fußpunktes F des Lotes vom Punkt S auf die Ebene E sowie den Abstand d des Punktes S von der Ebene E .

[Ergebnis: F = B ; d = 12 ]

Teilaufgabe 1c  (5 BE)

Bestimmen Sie die Größe der Innenwinkel des Dreiecks A B S .

Teilaufgabe 1d  (5 BE)

Berechnen Sie den Abstand d ( g , h ) der Geraden g und h .

[Ergebnis: d ( g , h ) = 3 17 ]

Lässt man das Dreieck A B S um die Achse B S rotieren, so entsteht als Rotationskörper ein Kegel K 1 .
Teilaufgabe 2a  (4 BE)

Berechnen Sie das Volumen von K 1 .

Teilaufgabe 2b  (3 BE)

Untersuchen Sie, ob die Gerade h mit dem Kegel K 1 gemeinsame Punkte besitzt.

Teilaufgabe 2c  (5 BE)

Eine Ebene E , die parallel zur Ebene E liegt, zerlegt den Kegel K 1 in einen Kegel K 2 und einen Kegelstumpf. Die Höhe des Kegelstumpfs beträgt ein Drittel der Höhe des Gesamtkegels K 1 . Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens des Kegelstumpfs am Volumen des Kegels K 1 .

Teilaufgabe 2d  (4 BE)

Gegeben ist ein Punkt P , dessen Abstand von der Ebene E kleiner als 12 ist. Es soll entschieden werden, ob der Punkt P auf der Mantelfläche des Kegels K 1 liegt. Beschreiben Sie hierfür ein mathematisches Vorgehen unter der Annahme, dass die Koordinaten von P bekannt sind.

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
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