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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I


 
Teilaufgabe 1b  (7 BE)
Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von G k . Die Hochpunkte von G k bilden den Graphen einer Funktion h . Ermitteln Sie Funktionsterm und Definitionsmenge von h .
[Teilergebnis: Hochpunkt bei x = k ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Art von Extrempunkten ermitteln



f k ( x ) = x k + x 2 , k + , D f =


Erste Ableitung bilden:

f ( x ) = ( x k + x 2 )
Schritt einblenden / ausblenden
= 1 ( k + x 2 ) - x ( 2 x ) ( k + x 2 ) 2

= k - x 2 ( k + x 2 ) 2


Erste Ableitung Null setzen: f ( x ) = 0

k - x 2 ( k + x 2 ) 2 > 0 = 0

k - x 2 = 0

x 2 = k

x 1 , 2 E = ± k
Schritt einblenden / ausblenden
Vorzeichen der ersten Ableitung bestimmen:

f ( x ) > 0

k - x 2 ( k + x 2 ) 2 > 0 > 0

k - x 2 > 0
Schritt einblenden / ausblenden
x > - k und x < k

Die Funktion f k ist streng monoton steigend für x ] - k ; k [




f ( x ) < 0

k - x 2 ( k + x 2 ) 2 > 0 < 0

k - x 2 < 0
Schritt einblenden / ausblenden
x < - k und x > k

Die Funktion f k ist streng monoton fallend für x ] - ; - k [ ] k ; [
Schritt einblenden / ausblenden
Die Funktion f k hat an der Stelle x 1 E = - k einen Tiefpunkt (Minimum).

Die Funktion f k hat an der Stelle x 2 E = k einen Hochpunkt (Maximum).
Lage von Extrempunkten ermitteln



y 1 E = f ( x 1 E ) = f ( - k ) = - k k + ( - k ) 2 = - k 2 k

T P ( - k | - k 2 k ) Tiefpunkt


y 2 E = f ( x 2 E ) = f ( k ) = k k + ( k ) 2 = k 2 k

H P ( k | k 2 k ) Hochpunkt
Funktionsgleichung ermitteln



H P ( k x | k 2 k y ) x = k y = k 2 k



Umformen des y-Wertes:

k 2 k k k = k 2 k k = 1 2 k

1 . x = k 2 . y = 1 2 k



Einsetzen von x = k in die zweite Gleichung:

y = 1 2 x

h ( x ) = 1 2 x mit D h = + da k +

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
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