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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe 1a  (4 BE)
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des 3 die Ebene F , die parallel zur x 3 -Achse ist und die Punkte A ( - 2 | 1 , 5 | 6 ) und B ( 0 | 3 | 0 ) enthält, sowie die Ebenenschar E a : 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 - a = 0 mit a .
Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform.
[Zur Kontrolle: F : 3 x 1 - 4 x 2 + 12 = 0 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ebenengleichung in Normalenform



A ( - 2 | 1 , 5 | 6 ) , B ( 0 | 3 | 0 )
A B = O B - O A = ( 0 3 0 ) - ( - 2 1 , 5 6 ) = ( 2 1 , 5 - 6 )
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F : x = ( 0 3 0 ) + α ( 2 1 , 5 - 6 ) + β u , u beliebiger Richtungsvektor
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n F = ( n 1 n 2 0 )
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x = ( 0 3 0 ) + α ( 2 1 , 5 - 6 ) + β u | ( n 1 n 2 0 )
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x ( n 1 n 2 0 ) = ( 0 3 0 ) ( n 1 n 2 0 ) + α ( 2 n 1 + 1 , 5 n 2 )
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Es muss gelten: 2 n 1 + 1 , 5 n 2 = 0
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Wähle n 2 = - 4 .
2 n 1 - 6 = 0 n 1 = 3

n F = ( 3 - 4 0 )

x ( 3 - 4 0 ) = ( 0 3 0 ) ( 3 - 4 0 )

F N : x ( 3 - 4 0 ) = - 12 3 x 1 - 4 x 2 + 12 = 0
Alternative Rechnung:

F N : u x 1 + v x 2 + w x 3 + δ = 0 , u , v , w , δ unbekannt

w = 0 da F parallel zur x 3 -Achse.

F N : u x 1 + v x 2 + δ = 0

A und B eingesetzt in F N gibt folgendes Gleichungssystem:

1 . - 2 u + 1 , 5 v + σ = 0 2 . 3 v + σ = 0

Wähle v = - 4 . Einsetzen in 2° Gleichung ergibt:

3 ( - 4 ) + δ = 0 δ = 12

Einsetzen von v und δ in 1° Gleichung ergibt:

- 2 u + 1 , 5 ( - 4 ) + 12 = 0 u = 3

F N : 3 x 1 - 4 x 2 + 12 = 0

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