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Abitur 2009 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des ℝ 3 die Ebene F , die parallel zur x 3 -Achse ist und die Punkte A ( - 2 | 1 , 5 | 6 ) und B ( 0 | 3 | 0 ) enthält, sowie die Ebenenschar E a : 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 - a = 0 mit a ∈ ℝ .
Teilaufgabe 1a  (4 BE)

Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform.
[Zur Kontrolle: F : 3 x 1 - 4 x 2 + 12 = 0 ]

Teilaufgabe 1b  (4 BE)

Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M ( 3 | - 1 | 0 ) berührt die Ebene F .
Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts und den Radius r der Kugel.
[Teilergebnis: r = 5 ]

Teilaufgabe 1c  (3 BE)

Die Punktspiegelung der Kugel K am Punkt A ergibt die Kugel K ′ .
Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M ′ der Kugel K ′ und geben Sie deren Radius r ′ an.
[Teilergebnis: M ′ ( - 7 | 4 | 12 ) ]

Teilaufgabe 1d  (6 BE)

Zeigen Sie, dass die Ebenen E 13 und E - 3 symmetrisch bezüglich des Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen.

Teilaufgabe 1e  (8 BE)

Die Ebene E 13 schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den Mittelpunkt N und den Radius ρ dieses Kreises. Warum hat der Schnittkreis von E - 3 mit der Kugel K ′ ebenfalls den Radius ρ ?
[Teilergebnis: N ( 5 | 1 | 1 ) ]

Teilaufgabe 1f  (8 BE)

Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen Zylinders und den Winkel ϕ , um den die Zylinderachse gegen die Grundfläche ge-neigt ist.

Teilaufgabe 1g  (7 BE)

In welcher Ebene der Schar E a liegt der Punkt M ′ ?
Für welche Werte des Scharparameters a schneiden sich die Kugel K ′ und die Ebene E a in einem Kreis?

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