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Abitur 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie VI
| In einem kartesischen Koordinatensystem des sind die Punkte sowie die Gerade , gegeben. Die Strecke ist die Höhe eines geraden Kreiskegels. Sein Grundkreis um den Punkt hat den Radius und liegt in der Ebene . |  |
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene in Normalenform und zeigen Sie, dass der Punkt auf dem Grundkreis liegt.
[Zur Kontrolle: ]
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Zeigen Sie, dass die Gerade in der Ebene liegt, und bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte und von und . (Der Punkt mit positiver -Koordinate wird mit bezeichnet.)
[Teilergebnis: ]
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Die Gerade teilt den Grundkreis in einen kurzen und einen langen Kreisbogen. Berechnen Sie den Winkel , den die Vektoren und einschließen, und geben Sie an, auf welchem der beiden Bögen der Punkt liegt. Begründen Sie Ihre Antwort.
Die Spiegelung der Geraden an ergibt die Gerade . Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von mit .
[Teilergebnis: ]
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Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Punkte, in denen die Geraden und den Kreis schneiden, ein Rechteck bilden.
Das Rechteck aus Teilaufgabe 2b bestimmt zusammen mit dem Punkt eine Pyramide. Wie viel Prozent des Kegelvolumens füllt diese Pyramide aus?
Die Spitze des Kegels wird geradlinig mit dem in der Ebene liegenden Punkt verbunden. Auf der Strecke bewegt sich der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius auf die Ebene zu. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes , in dem die Kugel die Ebene berührt.
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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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