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Abitur 2008 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte A ( 1 | 2 | 0 ) , B ( 3 | 0 | 2 ) und C ( 5 | 5 | 2 ) ein Dreieck in einer Ebene E fest. Die Gerade g enthält den Punkt B und besitzt den Richtungsvektor u = ( - 2 1 2 ) .
Teilaufgabe 1a  (7 BE)

Zeigen Sie, dass das Dreieck A B C gleichschenklig ist, und berechnen Sie alle Innenwinkel dieses Dreiecks.

Teilaufgabe 1b  (5 BE)

Weisen Sie nach, dass der Punkt F ( 2 | 1 | 1 ) Mittelpunkt der Strecke [ A B ] ist, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene G in Normalenform, bezüglich der die Punkte A und B zueinander symmetrisch sind.

[mögliches Teilergebnis: G : x 1 - x 2 + x 3 - 2 = 0 ]

Teilaufgabe 1c  (4 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden g mit der Ebene G .

[Ergebnis: S ( - 3 | 3 | 8 ) ]

Teilaufgabe 1d  (6 BE)

Bestätigen Sie, dass die Gerade F S senkrecht auf der Ebene E steht, und begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass der Punkt F auf dem Kreis in der Ebene G mit Durchmesser [ S C ] liegt.

Teilaufgabe 2a  (5 BE)

Bei der Rotation des rechtwinkligen Dreiecks F C S um die Achse F S entsteht ein gerader Kegel K 1 . Berechnen Sie das Volumen dieses Kegels.

Teilaufgabe 2b  (6 BE)

Der Kegel K 1 schneidet die Ebene G im Dreieck C S C * . Berechnen Sie die Koordinaten von C * und zeichnen Sie das Dreieck C S C * in wahrer Größe (1 LE entspricht 1 cm; sinnvolle Rundung der Längen).

Teilaufgabe 2c  (4 BE)

Es sei r der Radius der größten Halbkugel mit Grundfläche in E , die dem Kegel K 1 einbeschrieben werden kann.
Beschreiben Sie einen Weg zur rechnerischen Bestimmung von r (Rechnung nicht erforderlich).

Teilaufgabe 2d  (3 BE)

Lässt man das Dreieck F C S um die Achse F C rotieren, so entsteht ein Kegel K 2 .
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Schlussfolgerung falsch ist: "Weil bei K 2 im Vergleich zu K 1 Höhe und Grundkreisradius nur vertauscht sind, müssen K 1 und K 2 das gleiche Volumen besitzen."

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