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Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Stochastik III


 
Teilaufgabe 6a  (4 BE)
Bei einer Bernoulli-Kette der Länge n > 1 und der Trefferwahrscheinlichkeit p ist die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer maximal, wenn μ = p n = 2 gilt (Nachweis nicht erforderlich).
Zeigen Sie, dass für diese maximale Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von n gilt:

P ( n ) = ( 2 - 2 n ) ( 1 - 2 n ) n - 2
 
Lösung zu Teilaufgabe 6a

Binomialverteilung



n > 1
z = 2

Aus μ = p n = 2 folgt p = 2 n (*)
Schritt einblenden / ausblenden
P p n ( z = 2 ) = ( n 2 ) p 2 ( 1 - p ) n - 2 | (*) einsetzen

= ( n 2 ) ( 2 n ) 2 ( 1 - 2 n ) n - 2
Schritt einblenden / ausblenden
= n ( n - 1 ) 2 ( 2 n ) 2 ( 1 - 2 n ) n - 2

= n ( n - 1 ) 4 2 n 2 ( 1 - 2 n ) n - 2

= 2 n - 2 n ( 1 - 2 n ) n - 2

= ( 2 - 2 n ) ( 1 - 2 n ) n - 2

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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