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Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Stochastik III


 
Teilaufgabe 4  (6 BE)
Ein Anteil p ] 0 ; 1 [ von Patienten leidet an der Infektion durch den MVirus. Der Nachweis dieser Krankheit durch einen Bluttest ist nicht zuverlässig. Falls jemand vom M-Virus befallen ist, dann diagnostiziert der Bluttest dies nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % . Falls jemand nicht infiziert ist, dann diagnostiziert der Bluttest in 5 % aller Fälle trotzdem eine M-Virusinfektion. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person tatsächlich infiziert ist, falls der Bluttest dies diagnostiziert, 90 p 85 p + 5 beträgt.
Für welche Werte von p ist diese Wahrscheinlichkeit größer als 90 % ?
 
Lösung zu Teilaufgabe 4

Bedingte Wahrscheinlichkeit



M : "Person ist mit M-Virus infiziert"

B : "Bluttest ist positiv"

p = P ( M )

q = 1 - p = 1 - P ( M ) = P ( M ¯ )

P ( B nach M ) = 90 % = 0 , 9 P ( B ¯ nach M ) = 1 - 0 , 9 = 0 , 1

P ( B nach M ¯ ) = 5 % = 0 , 05 P ( B ¯ nach M ¯ ) = 1 - 0 , 05 = 0 , 95



P B ( M ) = P ( M B ) P ( B ) = 0 , 9 p · 0 , 9 p + 0 , 05 ( 1 - p ) 100 100 = 90 p 85 p + 5

Die bedingte Wahrscheinlichkeit soll größer als 90 % sein:

90 p 85 p + 5 > 0 , 9

90 p > 0 , 9 ( 85 p + 5 )

90 p > 76 , 5 p + 4 , 5

p > 1 3

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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