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Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe 2d  (5 BE)
Zeigen Sie, dass die Kugel K mit dem Mittelpunkt N ( t 8 | t 8 | t 8 ) und dem Radius ρ t = | t | 8 die Inkugel der Pyramide Π t ist, also alle Begrenzungsflächen von Π t von innen berührt.
 
Lösung zu Teilaufgabe 2d

Lagebeziehung Ebene und Kugel





Wenn die Kugel K mit Mittelpunkt N t ( t 8 | t 8 | - t 8 ) und Radius ρ t = | t | 8 die Innenkugel der Pyramide Π t ist, dann berührt K alle Begrenzungsflächen:

d ( N t , B t O C t ) = | x 1 N t | = | t 8 | = ρ t

d ( N t , A t O C t ) = | x 2 N t | = | t 8 | = ρ t

d ( N t , A t O B t ) = | x 3 N t | = | - t 8 | = | t | 8 = ρ t

Für die Begrenzungsfläche A t B t C t stellen wir die Hesse-Normalform der Ebene E t auf:



Schritt einblenden / ausblenden
E t H N : x ( 2 1 - 2 ) - t 3 = 0

d ( N t , A t B t C t ) = d ( N t , E t )

= | ( t 8 t 8 - t 8 ) ( 2 1 - 2 ) - t 3 | = | t 4 + t 8 + t 4 - t 3 | = | - t 8 | = | t | 8 = ρ t

Der Abstand des Mittelpunktes der Kugel K zu den Begrenzungsflächen der Pyramide Φ t ist gleich dem Radius ρ t , also ist K Innenkugel.

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