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Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe 1c  (6 BE)
Die Ebene L enthält die x 2 -Achse und ist Lotebene zur Ebene E t .
Ermitteln Sie eine Gleichung von L in Normalenform und geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s t von L und E t in Parameterform an.
[mögliches Teilergebnis: x 1 + x 3 = 0 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1c

Ebenengleichung in Normalenform





Ebene L ist Lotebene von E t .
Schritt einblenden / ausblenden
a L = n E t = ( 2 1 - 2 ) 1° Richtungsvektor von L

b L = x 2 = ( 0 1 0 ) 2° Richtungsvektor von L

x 0 L = ( 0 0 0 ) Ortsvektor von L
Schritt einblenden / ausblenden
L : x = ( 0 0 0 ) + μ ( 0 1 0 ) + γ ( 2 1 - 2 )

Normalenvektor der Ebene L : n L = a L × b L = ( 0 1 0 ) × ( 2 1 - 2 ) =
Schritt einblenden / ausblenden
= ( 1 0 1 )
Schritt einblenden / ausblenden
Normalenform der Ebene L N : x n L = x ( 1 0 1 ) = 0 x 1 + x 3 = 0
Schnitt zweier Ebenen



Gesucht ist s t = E t L :

E t : 2 x 1 + x 2 - 2 x 3 = t

L : x 1 + x 3 = 0 x 1 = - x 3 (1)

(1) in E t 2 ( - x 3 ) + x 2 - 2 x 3 = t x 2 = t + 4 x 3
Schritt einblenden / ausblenden
x 1 = - x 3 x 2 = t + 4 x 3 x 3 = x 3

Schnittgerade s t : x = ( 0 t 0 ) + τ ( - 1 4 1 )

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