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Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe 1a  (5 BE)
In einem kartesischen Koordinatensystem des 3 ist die Ebenenschar
E t : x = ( 0 t 0 ) + λ ( 1 - 2 0 ) + τ ( 0 2 1 ) mit λ , τ und t gegeben.
Bestimmen Sie eine Gleichung von E t in Normalenform. Begründen Sie, dass alle Ebenen der Schar zueinander parallel sind.
[mögliches Teilergebnis: E t : 2 x 1 + x 2 - 2 x 3 - t = 0 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ebenengleichung in Normalenform



E t : x = ( 0 t 0 ) + λ ( 1 - 2 0 ) a + τ ( 0 2 1 ) b

Normalenvektor n E der Ebene E t bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
a × b = ( 1 - 2 0 ) × ( 0 2 1 ) = ( - 2 - 1 2 )
Schritt einblenden / ausblenden
n E = - 1 ( - 2 - 1 2 ) = ( 2 1 - 2 )


Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
E t : ( 2 1 - 2 ) X = ( 2 1 - 2 ) ( 0 t 0 )

E t : 2 x 1 + x 2 - 2 x 3 = 0 + t + 0

E t : 2 x 1 + x 2 - 2 x 3 - t = 0
Lagebeziehung von Ebenen



Alle Ebenen der Schar sind zueinander parallel, weil sie den gleichen Normalenvektor n E besitzen. Nur der Ortsvektor ist von t abhängig, d.h. die Ebenen unterscheiden sich in ihrem Abstand vom Ursprung O .

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