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Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik GK Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe 1b  (8 BE)
Die Geraden g und h spannen eine Ebene F auf.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform und zeigen Sie, dass F eine Lotebene zur Ebene E ist. Welche besonderen Lagen im Koordinatensystem haben die beiden Ebenen E und F ?
[mögliches Teilergebnis: F : x 2 - 2 = 0 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Ebene aus zwei Geraden



g und h spannen die Ebene F auf. Die parametrisierte Ebenengleichung lautet:
Schritt einblenden / ausblenden
F p : x = ( 5 2 2 ) + λ ( - 3 0 4 ) a + μ ( 7 0 24 ) b
Ebenengleichung in Normalenform



Normalenvektor der Ebene F :

n H = a × b = ( - 3 0 4 ) × ( 7 0 24 ) =
Schritt einblenden / ausblenden
= ( 0 100 0 ) normiert n F = ( 0 1 0 )
Schritt einblenden / ausblenden
Normalenform der Ebene F :

F : x n F = x ( 0 1 0 ) = 2 x 2 - 2 = 0
Besondere Lage im Koordinatensystem



Die Ebene F ist parallel zur x 1 x 3 -Ebene, da der Normalenvektor n F senkrecht auf der x 1 x 3 -Ebene steht.

Die Ebene E ist parallel zur x 2 -Achse, da der Normalenvektor n E = ( 4 0 3 ) in der x 1 x 3 -Ebene liegt.

Die Ebenen E und F stehen senkrecht zu einander, denn n F n E = ( 0 1 0 ) ( 4 0 3 ) = 0

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